13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU
SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS.

1. DEFINITION
Soit l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants
( I ) a ∈ R∗ , b ∈ R c ∈ R

ay ′′ + by ′ + cy = ϕ( x )

ϕ fonction continue sur un intervalle I de R
L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est

ay ′′ + by ′ + cy = 0

( II )

L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension
2 sur R.

2. RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II).
On forme l'équation du second degré appelée équation caractéristique

ar 2 + br + c = 0 ( IIc )
1. ∆ = b 2 − 4 ac > 0
L'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes

r1 =

−b + ∆
−b − ∆ et r2 =
2a
2a

La solution générale de (II) est r x

ySG ( II ) = C1e 1 + C2e

r2 x

avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2

2. ∆ = b 2 − 4 ac = 0
L'équation caractéristique admet une racine réelle double

Equations différentielles linéaires du 2ème ordre.

U.M.N. 13.

r=−

Cours.

b
2a

La solution générale de (II) est

ySG ( II ) = erx ( C1 x + C2 ) avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2

3. ∆ = b 2 − 4 ac < 0
L'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées soit en posant α = Partie réelle de r1 ( ou de r2 ) = −

b
2a

β = Valeur absolue Partie imaginaire de r1 ( ou de r2 ) =

r1 =

−∆
2a

−b + i −∆
−b − i −∆
= α + iβ et r2 =
= α − iβ
2a
2a

La solution générale de (II) est

ySG ( II ) = eαx ( C1 cos βx + C2 sin βx ) avec ( C1 , C2 ) ∈ R 2

3. RESOLUTION de L'EQUATION COMPLETE (I).
La solution générale de l'équation complète (I) est la somme
•

de la solution générale de l'équation sans second membre (II)

•

et d'une solution particulière de l'équation complète (I)

ySG ( I ) = ySG ( II ) + ySP ( I )
C'est le principe de superposition des solutions (dû à la linéarité de l'équation différentielle)

4. RECHERCHE d'une SOLUTION PARTICULIERE de L'EQUATION
COMPLETE (I)

4.1.. Formes classiques du second membre.
• ϕ( x ) = Pn ( x ) avec Pn polynôme