Equations différentielles

1. Généralités
Définition
Une équation différentielle est une relation entre une variable réelle (par exemple x), une fonction qui dépend de cette variable (par exemple y) et un certain nombre de ses dérivées successives. Lorsque la dérivée de plus haut degré de la fonction (qui apparaît réellement) est la nième (n∈À*), on dit que l'équation différentielle est d'ordre n.

Exemples x yy" = x − x2y' est une équation différentielle d'ordre 2 où y est une fonction de la variable x. x − x 2 y’ On peut aussi l'écrire y” = y . x" − tx' + x2 = 1 est une équation différentielle d'ordre 2 où x est une fonction de la variable t. t' − tx + x2 = 1 est une équation différentielle d'ordre 1 où t est une fonction de la variable x.

x x

Remarques x x

Une équation différentielle d'ordre n peut donc s'écrire sous la forme : φ(x,y,y',y",...,y(n)) = 0 ou encore φ(x,y(x),y'(x),y"(x),...,y(n)(x)) = 0 où y est donc une fonction qui dépend de x et φ est une fonction des n + 2 variables x,y,y',y",...,y(n). Nous nous intéresserons aux fonctions y à valeurs dans Á ou Â. dy Il nous arrivera de rencontrer à la place de y' et nous pourrons avoir des équations de la forme dx 2 2xdx = y dy.

Définition
Résoudre (ou intégrer) une équation différentielle φ(x,y,y',y",...,y(n)) = 0 sur un intervalle I de Á ou Á tout entier, c'est trouver toutes les fonctions f telles que : a. f soit n fois dérivable sur I b. ∀x∈I, φ(x,f(x),f'(x),f"(x),...,f(n)(x)) = 0 Une fonction qui vérifie les conditions (a) et (b) est appelée solution (ou intégrale) particulière de l'équation différentielle et sa courbe représentative est appelée courbe intégrale de l'équation différentielle. On appelle solution (ou intégrale) générale de l'équation l'ensemble de toutes les fonction solutions. On appelle courbes intégrales d'une équation différentielle l'ensemble des courbes représentatives de toutes les solutions de cette équation différentielle.

Francis Wlazinski

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