Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2002

E XERCICE 1 1. Soit la suite (un ) définie par u1 =

enseignement obligatoire

1 et par la relation de récurrence : 2 1 1 un+1 = un + . 6 3 2 a. Soit la suite (v n ) définie pour n 1 par v n = un − ; montrer que (v n ) est 5 une suite géométrique dont on précisera la raison. b. En déduire l’expression de v n en fonction de n puis celle de un .

2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches. On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite. On désigne par A n l’évènement « on utilise le dé A au n-ième lancer », par A n l’évènement contraire de A n , par Rn l’évènement « on obtient rouge au n-ième lancer », par Rn l’évènement contraire de Rn , par an et r n les probabilités respectives de A n et Rn . a. Déterminer a1 . b. Déterminer r 1 . Pour cela, on pourra s’aider d’un arbre. c. En remarquant que, pour tout n 1 2 que r n = − an + . 6 3 d. Montrer que, pour tout n 1, A n+1 = (A n ∩ Rn ) ∪ A n ∩ Rn . e. En déduire que, pour tout n 1, 1 1 an+1 = an + , puis déterminer l’expression de an en fonction de n. 6 3 f. En déduire l’expression de r n en fonction de n puis la limite de r n quand n tend vers +∞. 1, Rn = (Rn ∩ Rn )∪ Rn ∩ Rn , montrer

enseignement obligatoire → → − − Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal direct O, u , v (unite graphique : 5 cm), on considère les points A et B d’affixes respectives 1 1 zA = 1 + i et zB = − + i. 2 2 On désigne par (C ) le cercle de centre O et de rayon 1. 1. Donner la forme trigonométrique de zA et celle de zB . 2. Dans la suite de l’exercice, M désigne un point de (C ) d’affixe eiα , α ∈ [0 ; 2π]. On considère l’application f qui tout point M de (C ), associe f (M) = MA × MB. a. Montrer, pour tout α ∈ R, l’égalité suivante : ei2α − 1 =