Mathematique

Pages: 6 (1297 mots) Publié le: 14 mars 2011
Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2002

E XERCICE 1 1. Soit la suite (un ) définie par u1 =

enseignement obligatoire

1 et par la relation de récurrence : 2 1 1 un+1 = un + . 6 3 2 a. Soit la suite (v n ) définie pour n 1 par v n = un − ; montrer que (v n ) est 5 une suite géométrique dont on précisera la raison. b. En déduire l’expression de v n en fonction de n puis celle de un .2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches. On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite. On désigne par A n l’évènement « on utilise le dé A au n-ième lancer »,par A n l’évènement contraire de A n , par Rn l’évènement « on obtient rouge au n-ième lancer », par Rn l’évènement contraire de Rn , par an et r n les probabilités respectives de A n et Rn . a. Déterminer a1 . b. Déterminer r 1 . Pour cela, on pourra s’aider d’un arbre. c. En remarquant que, pour tout n 1 2 que r n = − an + . 6 3 d. Montrer que, pour tout n 1, A n+1 = (A n ∩ Rn ) ∪ A n ∩ Rn . e.En déduire que, pour tout n 1, 1 1 an+1 = an + , puis déterminer l’expression de an en fonction de n. 6 3 f. En déduire l’expression de r n en fonction de n puis la limite de r n quand n tend vers +∞. 1, Rn = (Rn ∩ Rn )∪ Rn ∩ Rn , montrer

enseignement obligatoire → → − − Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal direct O, u , v (unite graphique : 5 cm), on considère les points A et Bd’affixes respectives 1 1 zA = 1 + i et zB = − + i. 2 2 On désigne par (C ) le cercle de centre O et de rayon 1. 1. Donner la forme trigonométrique de zA et celle de zB . 2. Dans la suite de l’exercice, M désigne un point de (C ) d’affixe eiα , α ∈ [0 ; 2π]. On considère l’application f qui tout point M de (C ), associe f (M) = MA × MB. a. Montrer, pour tout α ∈ R, l’égalité suivante : ei2α − 1 =2ieiα .

E XERCICE 2

b. Montrer l’égalité suivante : f (M) = ei2α − 1 − 1

3 + i eiα . 2 2 1
2

c. En déduire l’égalité suivante : f (M) = 3.

3 + − + 2sin α . 4 2

a. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe deux points M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lesquels f (M) est minimal. Donner cette valeur minimale. b. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe un seul point Mde (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lequel f (M) est maximal. Donner cette valeur maximale.

E XERCICE 2 enseignement de spécialité Dans le plan, on considère deux segments [AC] et [BD] tels que AC = BD et π − −→ − − → AC , BD = − . 2

On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD]. On appelle (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) et (C 4 ) les cercles de diamètres respectifs [AB],[BC] , [CD] et [DA]. On pourra s’aider de la figure ci-jointe. a. Soit r la rotation qui transforme A en B et C en D. Quel est l’angle de r ? Montrer que le centre I de r appartient aux cercles (C 1 ) et (C 3 ). b. Soit r la rotation qui transforme A en D et C en B. Quel est l’angle de r ? Montrer que le centre J de r appartient aux cercles (C 2 ) et (C 4 ). c. Quelle est la nature du quadrilatèreINJM ? On désigne par P et R les points diamètralement opposés à I sur, respectivement, (C 1 ) et (C 3 ) et par Q et S les points diamètralement opposés à J sur, respectivement, (C 2 ) et (C 4 ). π 2. Soit s la similitude directe de centre I, de rapport 2 et d’angle . 4 a. Quelles sont les images par s des points D, N, B? b. En déduire que J est le milieu de [PR]. 1.

2

P (C 1 )

(C 4 ) SA B N J I M (C 2 )

D

(C 3 )

Q

R

C

P ROBLÈME Soit f la fonction dfinie sur [0 ; 1] par :   f (0) f (1)  f (x) = = = 0 0 (ln x) × ln(1 − x), pour x ∈]0 ; 1[

où ln désigne la fonction logarithme népérien. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 10 cm). On admet que lim f (x) = 0 et lim f (x) = 0, ainsi que le résultat suivant :
x→0...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Mathématiques
  • Mathematique
  • ~Mathématiques~
  • Mathématiques
  • Mathématiques
  • mathématiques
  • mathematique
  • Mathematique

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !