MATHS FIN - Les Annuités

Pages: 7 (1633 mots) Publié le: 31 décembre 2014
ANNUITES

I Notions d’annuités

a.Définition

Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de
temps égaux.
Le processus de versements dépend du montant de l’annuité, de l’intervalle de temps séparant
le versement de deux annuités, du nombre de versements ainsi que de la date de versement de
la première annuité.
Deux cas peuvent se présenter: -annuités constantes
-annuités non constantes

En d’autres termes, il s’agit d’un versement régulier d’un certains capital, qui capitalisé,
atteint une valeur acquise croissante au fur et à mesure que le temps passe.

b. Bref rappel sur les suites

Dans cette leçon, nous considérerons des suites dont les indices de définition seront des
entiers naturels, et dont les valeurs serontdonnées dans l’ensemble des réels.

*Suite arithmétique

Une suite arithmétique de terme général
raison r, et le numéro n du terme considéré.

est définie par la donnée du premier terme

, la

Nous obtenons ainsi l’expression :

Considérons désormais la somme de plusieurs termes d’une suite arithmétique.
Soit S la somme de n termes définie par

Soit,

Du fait de la commutativité,cette somme peut être exprimée en sens inverse :

En additionnant les deux équations, nous obtenons donc,

Soit,

C’est ainsi qu’en connaissant uniquement le premier terme d’une suite ainsi que le nombre de
termes et la raison de la suite nous pouvons connaître la somme.

*Suite géométrique

Nous définissons une suite géométrique de terme général
terme

, de la raison q et du numéro dunième terme n.

Nous obtenons donc l’expression :

par la donné de son premier

Là aussi nous pouvons déterminer la somme d’une suite de n termes d’une suite géométrique.
Tout d’abord, considérons l’expression suivante appelée somme télescopique ;

Si l’on développe cette expression nous obtenons le résultat suivant :

Soit,

Ainsi,

Nous pouvons ainsi formaliser le tout par :Et isoler la somme des puissances croissantes de x :

Ainsi en appliquant cette formule aux suites géométriques, où
Soit S la somme des termes d’une suite géométrique de puissances croissantes

Soit après remplacement par leurs formules explicites,

Soit, après simplification,

II Valeur Acquise par une suite de n annuités

a.Valeur Acquise de n annuités

Soit, a le montant del’annuité.
n le nombre d’annuités.
i le taux de placement

Si l’on considère un processus de versements d’annuités constantes sur n périodes.

La première annuité versée à la date 1 sera capitalisée pendant n-1 périodes, soit
La deuxième annuité versée à la date 2 sera capitalisée pendant n-2 périodes, soit

La n-1ième annuité versée à la date n-1 sera capitalisée pendant 1 période, soit
Lanième annuité versée à la date n sera capitalisée pendant 0 périodes, soit

Au final si l’on nomme

la valeur acquise par cette suite d’annuités, nous obtenons :

En appliquant le résultat de la somme géométrique.

Exemple

Un créancier décide de placer 1000€ par mois au taux mensuel de 1% pendant 10 mois.
Calculer la valeur acquise par cette suite d’annuités.

Il s’agit d’un simpleexercice d’application de formule.

b.Valeur acquise d’une suite d’annuités après le versement de la nième annuité.

Si l’on se place en qualité de créancier versant une somme régulièrement tous les mois
jusqu’à une certaine période. A la fin de cette période pour des raisons ou autres il décide
d’interrompre le versement régulier de mensualité mais décide de laisser la valeur acquise par
cesdifférentes mensualité. Cette valeur acquise forme un capital qui va ainsi être capitalisé.
Supposons que ce dernier décide de laisser ce nouveau capital pendant « d » périodes après le
versement de la dernière annuité. Le capital acquis sera déterminé par la formule :

Soit,

Soit,

Exemple

Calculer la valeur acquise de 10 annuités de 1000€ chacune au taux de 1%, 5 période après...
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