Versailles, jeudi 26 février 2009. Théorie des nombres
Claude Deschamps

Cette suite d’exercices a pour thème les nombres entiers absolument premiers. En deux heures, il ne sera possible que d’aborder les premiers exercices, mais rien n’interdit de continuer seul en faisant preuve de ténacité. Dans tout ce qui suit N est un entier au moins égal à deux (en pratique même au moins égal à dix) et on envisage son écriture dans le système décimal qui comporte n chiffres (en pratique avec n supérieur ou égal à deux). N est dit « absolument premier » s’il est premier, et si, prenant l’écriture décimale de N, tout entier dont l’écriture décimale est obtenue par permutation quelconque des n chiffres de N est lui aussi premier. Evidemment, pour n=1 il s’agit simplement des nombres premiers 2, 3, 5, 7. Les problèmes commencent pour n=2 où clairement 13 est absolument premier car 31 l’est aussi, mais, par contre, 19 est premier mais n’est pas absolument premier car 91 n’est pas premier. De même 311 est absolument premier car 311, 131 et 113 sont tous les trois premiers. Deux exemples faciles. • Les « repunits » (de l’anglais repeated units). Exercice 1. On considère un entier N dont l’écriture décimale est constituée de n fois le chiffre 1. Il est clair que si N est premier, il est absolument premier. Montrer qu’une condition nécessaire pour que N soit premier est que n le soit. Cette condition est-elle suffisante ? • Exercice 2. On considère un entier N, supérieur ou égal à 10, dont l’écriture décimale comporte exactement n-1 fois le chiffre 1 et une fois le chiffre 7. Déterminer tous les entiers N, de cette forme, qui sont absolument premiers.

Retour au cas général : évidemment N est un entier au moins égal à 10 et même en pratique au moins égal à 1.000 ou à 10.000 • • • • Exercice 3. Quels sont les quatre seuls chiffres pouvant figurer dans l’écriture décimale d’un nombre absolument premier. Exercice 4. Prouver que si N est absolument premier son écriture décimale ne