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Pages: 4 (903 mots) Publié le: 22 novembre 2012
Versailles, jeudi 26 février 2009. Théorie des nombres
Claude Deschamps

Cette suite d’exercices a pour thème les nombres entiers absolument premiers. En deux heures, il ne sera possible qued’aborder les premiers exercices, mais rien n’interdit de continuer seul en faisant preuve de ténacité. Dans tout ce qui suit N est un entier au moins égal à deux (en pratique même au moins égal à dix) et onenvisage son écriture dans le système décimal qui comporte n chiffres (en pratique avec n supérieur ou égal à deux). N est dit « absolument premier » s’il est premier, et si, prenant l’écrituredécimale de N, tout entier dont l’écriture décimale est obtenue par permutation quelconque des n chiffres de N est lui aussi premier. Evidemment, pour n=1 il s’agit simplement des nombres premiers 2, 3, 5,7. Les problèmes commencent pour n=2 où clairement 13 est absolument premier car 31 l’est aussi, mais, par contre, 19 est premier mais n’est pas absolument premier car 91 n’est pas premier. De même311 est absolument premier car 311, 131 et 113 sont tous les trois premiers. Deux exemples faciles. • Les « repunits » (de l’anglais repeated units). Exercice 1. On considère un entier N dont l’écrituredécimale est constituée de n fois le chiffre 1. Il est clair que si N est premier, il est absolument premier. Montrer qu’une condition nécessaire pour que N soit premier est que n le soit. Cettecondition est-elle suffisante ? • Exercice 2. On considère un entier N, supérieur ou égal à 10, dont l’écriture décimale comporte exactement n-1 fois le chiffre 1 et une fois le chiffre 7. Déterminer tousles entiers N, de cette forme, qui sont absolument premiers.

Retour au cas général : évidemment N est un entier au moins égal à 10 et même en pratique au moins égal à 1.000 ou à 10.000 • • • •Exercice 3. Quels sont les quatre seuls chiffres pouvant figurer dans l’écriture décimale d’un nombre absolument premier. Exercice 4. Prouver que si N est absolument premier son écriture décimale ne...
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