3 Moindres carrés / Least squares (régression non linéair, calage de modèle /pb. Inverse)
3.1 Question de cours, partie préliminaire
On définit fi comme l'écart entre yobs et ymod, c'est à dire :
Pour tout tn : Yobs(tn) = ymod(tn) - fi(tn) ou encore fi(tn) = ymod(tn) – yobs(tn)
On définit alors ɛ comme la norme quadratique de fi(tn) à savoir : ɛ² = (yobs – ymod)T(yobs – ymod)
Ce qui peut également s'écrire : ɛ² = (yobs – Ep)T (yobs – Ep) 1 | Exp( -t1) | 1 | Exp( -t2) | 1 | Exp( -t3) | 1 | Exp( -t4) | 1 | Exp( -t5) | 1 | Exp( -t6) |

Avec E =

1 | 1 | 1 | 0.74 | 1 | 0.45 | 1 | 0.33 | 1 | 0.20 | 1 | 0.1 |
AN : E =

On peut développer ɛ² en fonction de p et pT : ɛ² = yobsTyobs – yobsTEp – pTETyobs + pTETEp
En notant b = ETyobs/2 on a : ɛ² = yobsTyobs – 2bTp – 2pTb + pTAp/2
Dans ces conditions, la condition nécessaire d'optimalité à savoir grad ɛ² = 0 impose :
Ap = b
Cette condition étant nécessaire, elle implique que popt est solution de cette équation.
Avec les données numériques on peut faire l’application numérique sur matlab (script preliminaire.m en annexe) : poptT = (0.1191 ; 0.0852)

3.2 TD3 Calage de modèle, cas linéaire
L’objectif est de modéliser le comportement d’un bassin versant en considérant son débit sortant et l’eau reçue des pluies. Dans le cas présent on prendra un modèle à un réservoir linéaire dont les paramètres sont le débit initial Q0 et sa conductance k.
Dans un premier temps on applique les équations régissant le système (conservation de la masse, loi de perte de charge) puis on discrétise l’équation différentielle obtenue de façon à obtenir une expression non linéaire du débit Qn à l’instant tn. On va à présent chercher à optimiser ce modèle. 1. La fonction écart à minimiser est définie comme la différence entre le modèle de débit Q et celui observée Qobs. Le sous-programme ecart.m en annexe permet de calculer la fonction écart f(x).