"Il y a des racines de tout' les formes
Des pointues, des rond' et des difformes
Cell' de la guimauve est angélique
Et la mandragore est diabolique
Il y a un Racin' qu'est un classique
Mêm' s'il nous bassin' on n'y peut plus rien
Mais la racine que j'adore
Et qu'on extrait sans effort-eu
La racine carrée c'est ma pré-fé-rée."
Boris Vian et José Christian 1957
Une méthode très efficace pour calculer la racine carré de r est d'utiliser la suite récurrente u(n+1)= ( u(n)² + r) / (2*u(n)).

On peut vérifier que si u(n)=sqrt(r) alors u(n+1)= sqrt(r). Cela signifie que sqrt(r) est un point fixe de la suite et on peut montrer mathématiquement que la suite converge très rapidement vers ce point fixe. Après, pour accélérer la convergence et diminuer le temps de calcul, il peut être utile de choisir intelligemment u(0) mais ce n'est pas nécessaire.
Par exemple, pour calculer la racine carré de 2, on choisit u(0)=2. On a alors: u(1)= (4 + 2)/ 4 =3/2 =1.5 ( c'est déjà le bon ordre de grandeur) u(2)= ( 9/4 + 8/4) / 3 =17/12 = 1.41666... (les deux premières décimales sont correctes) u(3) = ( 289/144 + 288/144 ) / (17/6)= 577 / (24*17)=577/408 = 1.414 2156862745098039... ( les 5 premières décimales sont correctes ).
Après le calcul commence à prendre un peu de temps mais le terme suivant u(4)=665857/470832 est correct jusqu'à la douzième décimale! Il s'agit d'ailleurs d'une des méthodes fréquément utilisées dans les ordinateurs ou calculatrices.

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