Petitlapinbleu

Pages: 34 (8473 mots) Publié le: 24 février 2013
"Il y a des racines de tout' les formes
Des pointues, des rond' et des difformes
Cell' de la guimauve est angélique
Et la mandragore est diabolique
Il y a un Racin' qu'est un classique
Mêm' s'il nous bassin' on n'y peut plus rien
Mais la racine que j'adore
Et qu'on extrait sans effort-eu
La racine carrée c'est ma pré-fé-rée."
Boris Vian et José Christian 1957
Une méthode très efficacepour calculer la racine carré de r est d'utiliser la suite récurrente
u(n+1)= ( u(n)² + r) / (2*u(n)).

On peut vérifier que si u(n)=sqrt(r) alors u(n+1)= sqrt(r). Cela signifie que sqrt(r) est un point fixe de la suite et on peut montrer mathématiquement que la suite converge très rapidement vers ce point fixe. Après, pour accélérer la convergence et diminuer le temps de calcul, il peut êtreutile de choisir intelligemment u(0) mais ce n'est pas nécessaire.
Par exemple, pour calculer la racine carré de 2, on choisit u(0)=2. On a alors:
u(1)= (4 + 2)/ 4 =3/2 =1.5 ( c'est déjà le bon ordre de grandeur)
u(2)= ( 9/4 + 8/4) / 3 =17/12 = 1.41666... (les deux premières décimales sont correctes)
u(3) = ( 289/144 + 288/144 ) / (17/6)= 577 / (24*17)=577/408 = 1.414 2156862745098039... ( les 5premières décimales sont correctes ).
Après le calcul commence à prendre un peu de temps mais le terme suivant
u(4)=665857/470832 est correct jusqu'à la douzième décimale! Il s'agit d'ailleurs d'une des méthodes fréquément utilisées dans les ordinateurs ou calculatrices.

Menu
Extraire une racine carrée à la main : choisissez votre nombre (Flash)
Description de l'algorithme
Mais d'oùvient le signe ?
Recherche arithmétique d'une racine carrée avec les 4 opérations
Autres méthodes
Autant de décimales que l'on veut (Merci à Hubert Bayet)
Extraire une racine cubique à la main
Et les nombres négatifs...
Extraire une racine carrée avec des soustractions : le gnomon
Extraire une racine à la règle et au compas |

Extraire une racine carrée à la main : voir dynamiquementCi-dessous, entrer un nombre entier plus petit que 100 000 000 et valider en cliquant OK.
L'algorithme se déroulera petit à petit .
Description de l'algorithme
Ci-dessous, un exemple extrait d'un manuel
de 1910 pour le cours supérieur de certificat d'études - 11 à 13 ans.
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Dans cet exemple, on lit : " En 48 combien de fois 6? Il y est 7 fois."
En réalité il y est 8 fois car6 fois 8 font 48.
Cependant, 68x8=544, est trop grand pour 489.
Il faut donc comme pour les essais dans une division, prendre plus petit, ici 7,
(dans les programes de l'époque
on n'étudiait que les entiers positifs pour le certificat d'études).
L'explication de cet extrait de 1910 peut paraître un petit peu rapide.
En suivant pas à pas l'extraction de 1389 dans l'animation précédente,
onretrouve bien les mêmes étapes de calcul.
Voici maintenant ce même procédé extrait d'un manuel
de Terminale C et T de V.Lespinard et R.Pernet 1968
REGLE PRATIQUE
1. Ecrire le nombre dont on veut extraire la racine comme le dividende d'une division.
2. Séparer en tranches de deux chiffres à partir de la droite ; la dernière tranche à gauche peut n'avoir qu'un chiffre.
3. Extraire la racinede la première tranche à gauche ; on obtient ainsi le premier chiffre de la racine cherchée qu'on écrit à la place du diviseur habituel.
4. Retrancher le carré de ce nombre d'un chiffre de la première tranche à gauche.
5. Abaisser à droite du résultat de la soustraction précédente (premier reste partiel), la tranche suivante.
6. Séparer dans le nombre obtenu le dernier chiffre à droite etdiviser le nombre restant par le double du nombre d'un chiffre écrit à la place du diviseur ; on écrit le double de ce nombre à la place du quotient.
7. Si le quotient est inférieur à 10 l'essayer, sinon commencer par essayer 9 ; l'essai se fait en écrivant ce quotient à droite du double de la racine de la première tranche et en multipliant le nombre obtenu par le quotient considéré. Si le produit...
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