Vestiges d'une terminale S - Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l'espace rapporté à un repère orthonormé

2. Quelques conséquences
Comme le point H appartient au plan P alors

Formule donnant la distance entre un point et un plan

(

)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé O; i, j,k .

La distance entre le point A ( x A ; y A ; z A ) et le plan P d'équation cartésienne

a.x + b.y + c.z + d = 0 est donnée par : distance ( A; P ) =

a.x A + b.y A + c.z A + d a 2 + b2 + c2

Rappelons que la distance entre un point A et un ensemble E est la plus petite des distances AM existant entre le point A et chaque point M de E.
La formule marche lorsque le point A appartient au plan P. Car alors, les coordonnées du premier vérifient l'équation du second. Donc a.x A + b.yA + c.z A + d = 0 . D'où :
a.x A + b.yA + c.z A + d

0

= 0 = distance ( A; P ) a +b +c a + b2 + c2
Dans la démonstration suivante, nous supposerons que le point A n'appartient pas à P.
2

2

2

=

2

La preuve de la formule
1. Où la distance AM est-elle minimale ?
Nous venons de le rappeler : la distance entre le point A et le plan P est la plus petite des distances AM où M est un point quelconque de P.
A priori, cette distance semble minimale lorsque le point M est le projeté orthogonal H du point A sur le plan P.
A
Voyons pourquoi il en est ainsi !

Pour tout point N du plan P, le triangle
ANH est rectangle en H.
Donc en application du théorème de
Pythagore, il vient :

H

AN 2 = AH 2 + HN 2

N

P

a.x H + b.yH + c.z H + d = 0 .
Ses coordonnées en vérifient l'équation...

Ensuite, comme nous travaillons dans un repère orthonormé alors un vecteur normal du
a 
  plan P d'équation a.x + b.y + c.z + d = 0 est n  b  .
c
 

3. La dernière phase : un produit scalaire de deux manières
Le produit scalaire n.AH peut se calculer de deux manières :
Avec les coordonnées car nous évoluons dans un repère