Wala troude

Pages: 6 (1261 mots) Publié le: 2 janvier 2012
Bac S 1999 - INDE - PONDICHÉRY

Exercices : complexe, arithmétique, barycentre – Problème : fonction exponentielle

Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_1999/bac_s_inde_1999.doc

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL - Session 1999
Épreuve : MATHÉMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9

OBLIGATOIRE et SPÉCIALITÉL'utilisation d’une calculatrice est autorisée

Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.

Dès que lesujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

1. Résoudre dans C l’équation :[pic]. (0,5 point)
On désignera par z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et par z2 l’autre solution.
2. a) Déterminer le module et un argument dechacun des nombres z1 et z2. (1 point)
b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe [pic]. (0,5 point)
3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; [pic], [pic]) (unité : 1 cm), on considère le point M1 d’affixe [pic], le point M2 d’affixe [pic] et le point A d’affixe [pic].
a) Déterminer l’affixe du point M3, image de M2 par l’homothétie h de centre A et derapport − 3. (0,5 point)
b) Déterminer l’affixe du point M1, image de M2 par la rotation r de centre O et d’angle [pic]. (0,5 point)
c) Placer dans le même repère les points A, M1, M2, M3, et M4. (0,5 point)
d) Calculer [pic] (0,5 point)
e) Soient I le milieu du segment [M3M4] et M5 le symétrique de M1 par rapport à I. Montrer que les points M1, M3, M5 et M4 forment un carré. (1 point)
EXERCICE2 (4 points) Arithmétique l'enseignement de spécialité
Partie A
On admet que 1999 est un nombre premier.
Déterminer l’ensemble des couples (a ; b) d’entiers naturels admettant pour somme 11994 et pour PGCD 1999. (1 point)

Partie B
On considère l’équation (E) d’inconnue n appartenant à N :
(E) : n2 − S n + 11994 = 0 où S est un entier naturel.
On s’intéresse à des valeurs de S telles que(E) admette deux solutions dans N.
1. Peut-on déterminer un entier S tel que 3 soit solution de (E) ? (0,25 point)
Si oui, préciser la deuxième solution. (0,25 point)
2. Peut-on déterminer un entier S tel que 5 soit solution de (E) ? (0,5 point)
3. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11994. (0,5 point)
En déduire toutes les valeurs possibles de S telles que (E)admette deux solutions entières. (0,5 point)

Partie C
Comment montrerait-on que 1999 est un nombre premier ?
Préciser le raisonnement employé. (1 point)
La liste de tous les entiers premiers inférieurs à 100 est précisée ci-dessous :
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61
67 71 73 79 83 89 97

EXERCICE 2 (4 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire
On considère untriangle ABC du plan.

1. a) Déterminer et construire le point G, barycentre de
[(A ; 1) ; (B ; −1) ; (C ; 1)]. (0,5 point)
b) Déterminer et construire le point G´, barycentre de
[(A ; 1) ; (B ; 5) ; (C ; −2)]. (0,5 point)

2. a) Soit J le milieu de [AB].
Exprimer[pic] et[pic] en fonction de[pic] et[pic] et en déduire l’intersection des droites (GG′) et(AB). (0,75 + 0,75 point)
b) Montrer que le barycentre I de [(B ; 2) ; (C ; −1)] appartient à (GG′). (0,5 point)

3. Soit D un point quelconque du plan.
Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].
a) Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit barycentre de
[(A ; a) ; (D ; d) ; (C ; c)]. (0,5 point)
b) Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC).
Déterminer les réels a’ et...
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