FONCTIONS POLYNÔMES
1. Fonction polynôme de degré quelconque 1.1. Définition On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) de degré n (n Î ) toute fonction P définie sur  dont l'écriture peut se ramener à la forme : P(x) = an xn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 où a0, a1, ... , an réels avec an ¹ 0 Le terme apxp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P). Exemples et contre-exemples : · La fonction P définie par P(x) = 7x6 – 5x4 + 3x – 11 est une fonction polynôme de degré 6. · Toutes les fonctions puissances d'exposants entiers : p(x) = x p (p Î) sont des fonctions polynômes de degré p (avec la convention 00 = 1 lorsque p = 0). · Les fonctions constantes x a k, avec k ¹ 0, sont des fonctions polynômes de degré 0. · La fonction Q définie par : Q(x) = x3 + x + · Les fonctions affines x a ax + b, avec a ¹ 0, sont des fonctions polynômes de degré 1.

1 n'est pas une fonction polynôme. x x4 - 1 est une fonction polynôme de degré 2, car · Attention aux faux-amis ! La fonction ¦ définie par ¦(x) = 2 x +1 après simplifications, on obtient ¦(x) = x2 – 1. Cependant, la fonction g définie par g(x) = une fonction polynôme car non définie pour x = ±1. x4 - 1 n'est pas x2 - 1

Remarques : · Une fonction polynôme à coefficients réels est continue sur . (Voir leçon sur le calcul différentiel) · Une fonction du type P(x) = an xn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 où tous les coefficients a0, a1, ... , an sont des réels nuls s'appelle la fonction polynôme nulle. Une telle fonction polynôme n'a pas de degré. (En fait, on considère, par convention, que c'est –¥ afin d'assurer la comptabilité de certaines relations sur les degrés) · On peut définir des fonctions polynômes avec des coefficients dans un ensemble A autre que . (Cela peut être par exemple le corps des nombres complexes ). Cependant l'ensemble A doit posséder un certain nombre de propriétés algébriques (A doit être un anneau commutatif(1)).
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Notion de groupe Un ensemble G est un groupe si il est muni