ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires
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MATHEMATIQUES
Option scientifique
Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h
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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1
Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On désigne par I la matrice unité de Mn(IR).
1) On note tr l’application linéaire qui à toute matrice de Mn(IR) associe sa trace, c’est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux.
a) Montrer que Im tr = IR.
b) En déduire la dimension de Ker tr.
c) Établir que Mn(IR) = Ker tr ⊕ Vect(I).
2) Soit f l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe f (M) = M + tr(M) I,
a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(IR).
b) Utiliser la première question pour déterminer les valeurs propres de f. En déduire que f est un automorphisme diagonalisable de Mn(IR).
3) Soit g l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe g (M) = M + tr(M) J, où J désigne une matrice non nulle de Mn(IR) dont la trace est nulle.
On admet que g est un endomorphisme de Mn(IR).
a) Établir que le polynôme X 2 – 2 X + 1 est un polynôme annulateur de g.
b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de g.
c) g est-il diagonalisable ?

Sujet EDHEC 2005 – Math S
1

Exercice 2
Pour tout réel x, on note ⎣ x ⎦ la partie entière de x et on rappelle que ⎣ x ⎦ est le seul entier vérifiant : ⎣ x ⎦ ≤ x < ⎣ x ⎦ + 1.

On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0). On note F sa