DM 4

1S

2014-2015

Un problème digne d’attaque prouve sa valeur en ripostant.
Piet Hein (1905-1996)

Soit n un entier naturel non nul.
On se propose de calculer en fonction de n les sommes suivantes : k=n k=n

k=n

k=1

k=1

k=1

k3

k 2 et S3 = 13 +23 +33 +· · ·+n3 =

k, S2 = 12 +22 +32 +· · ·+n2 =

S1 = 1+2+3+· · ·+n =

Calcul de S1
On considère la fonction trinôme du second de degré f1 définie par f1 (x) =

x2 x − .
2
2

1. Calculer f1 (1).
2. A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réel x, f1 (x + 1) − f1 (x) = x (I).
3. En écrivant l’égalité (I) pour x = 1, x = 2, . . . , x = n, démontrer que :
S1 =

n(n + 1)
2

Calcul de S2
On considère la fonction polynôme de degré 3 f2 définie par f2 (x) =

x3 x2 x
−
+ .
3
2
6

1. Calculer f2 (1).
2. A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réel x, f2 (x + 1) − f2 (x) = x2 (II).
3. En écrivant l’égalité (II) pour x = 1, x = 2, . . . , x = n, démontrer que :
S2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6

Calcul de S3
On considère la fonction polynôme de degré 4 f3 définie par f3 (x) =

x3 x2 x4
−
+ .
4
2
4

1. Calculer f3 (1).
2. A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réel x, f3 (x + 1) − f3 (x) = x3 (III).
3. En écrivant l’égalité (III) pour x = 1, x = 2, . . . , x = n, démontrer que :
S3 = S12

MD

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