Dm Mr

Pages: 2 (262 mots) Publié le: 4 janvier 2015
DM 4

1S

2014-2015

Un problème digne d’attaque prouve sa valeur en ripostant.
Piet Hein (1905-1996)

Soit n un entier naturelnon nul.
On se propose de calculer en fonction de n les sommes suivantes :
k=n

k=n

k=n

k=1

k=1

k=1

k3

k 2 et S3 =13 +23 +33 +· · ·+n3 =

k, S2 = 12 +22 +32 +· · ·+n2 =

S1 = 1+2+3+· · ·+n =

Calcul de S1
On considère la fonction trinôme dusecond de degré f1 définie par f1 (x) =

x2
x
− .
2
2

1. Calculer f1 (1).
2. A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réelx, f1 (x + 1) − f1 (x) = x (I).
3. En écrivant l’égalité (I) pour x = 1, x = 2, . . . , x = n, démontrer que :
S1 =

n(n + 1)
2Calcul de S2
On considère la fonction polynôme de degré 3 f2 définie par f2 (x) =

x3
x2
x

+ .
3
2
6

1. Calculer f2 (1).
2.A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réel x, f2 (x + 1) − f2 (x) = x2 (II).
3. En écrivant l’égalité (II) pour x = 1, x =2, . . . , x = n, démontrer que :
S2 =

n(n + 1)(2n + 1)
6

Calcul de S3
On considère la fonction polynôme de degré 4 f3 définie parf3 (x) =

x3
x2
x4

+ .
4
2
4

1. Calculer f3 (1).
2. A l’aide du logiciel Xcas, vérifier que, pour tout réel x, f3 (x + 1)− f3 (x) = x3 (III).
3. En écrivant l’égalité (III) pour x = 1, x = 2, . . . , x = n, démontrer que :
S3 = S12

MD

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