Probabilité

Pages: 7 (1502 mots) Publié le: 4 mars 2014
Premières explications[modifier le code]

Si les probabilités permettent de dire que dans un lancer de dé parfaitement équilibré, le fait d'obtenir 6 est un évènement de probabilité 1/6, elles ne permettent pas de prédire quel sera le résultat du lancer suivant. Le fait que la probabilité soit de 1/6 n'assure pas qu'au cours de 6 lancers, le n°6 apparaisse une fois. Le fait que durant les 100lancers précédents, le n°6 ne soit jamais apparu n'augmente même pas la chance que le n°6 apparaisse au lancer suivant (on dit que le hasard n'a pas de mémoire). Bref, l'étude des probabilités ne peut pas nous empêcher de rêver au billet gagnant à la loterie.

Les probabilités n'ont de sens qu'avec l'observation de la loi des grands nombres : si on renouvelle une expérience un grand nombre defois, la fréquence d'apparition d'un évènement est proche de sa probabilité d'apparition.

Si on lance un dé 10 000 fois, la fréquence d'apparition du n°6 sera très voisine de 1/6.

L'étude des probabilités s'est alors révélée un outil très puissant pour les organisateurs de jeux, depuis le chevalier de Méré, en passant par le philosophe Pascal et pour finir chez les mathématiciens de laFrançaise des jeux. Qu'importe pour eux que ce soit M. Dupont ou M. Dupuis qui gagne le gros lot, leur étude porte sur le grand nombre de joueurs, quelles sont les sommes misées, quelles sont les sommes gagnées.

Le calcul des probabilités s'est aussi révélé un outil indispensable dans l'étude et la couverture des risques et est à la base de tous nos systèmes d'assurance.

Enfin, le siècle dernier a vul'apparition d'une approche probabiliste dans le domaine de l'atome.

Les premiers pas dans le domaine des probabilités consistent à se familiariser avec le vocabulaire probabiliste élémentaire, découvrir les modes de calcul d'une probabilité, utiliser un arbre de probabilité, découvrir la notion d'indépendance en probabilité élémentaire, apprendre quelques règles de combinatoire et travaillersur quelques variables aléatoires élémentaires

Principaux éléments[modifier le code]

Univers[modifier le code]

Lors d'une expérience aléatoire, c'est-à-dire soumise au hasard (de alea (latin) le hasard, les dés), on commence par faire l'inventaire de tous les résultats possibles. L'ensemble de tous les résultats possibles sera appelé l' univers Ω des possibles.

Éventualité[modifier lecode]

Chaque résultat possible sera appelé une éventualité ω.

Exemple 1 : On lance une pièce. L'univers des possibles est Ω={P; F}.(P pour Pile, F pour face). Le P est une éventualité de ce lancer.

Exemple 2 : On choisit au hasard un réel strictement compris entre 0 et 1 non inclus. L'univers des possibles est Ω =] 0 ; 1[. Le nombre \scriptstyle\ \sqrt{2}/2\ est une des éventualités.Exemple 3 : On lance 3 pièces successivement. L'univers des possibles est Ω={FFF ; FFP ; FPF ; FPP ; PFF ; PFP ; PPF ; PPP}. La suite de caractères PFP est une éventualité de cette série de lancers.

Événement[modifier le code]

Un ensemble de résultats possibles définit un évènement. C'est un sous-ensemble de l'univers Ω. Il peut être décrit en extension (dans le cas d'un ensemble fini) oupar une description.

Exemple 1: On lance un dé. L'univers est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. La partie A = {1 ; 2 ; 3} est un évènement décrit en extension. Cet évènement se décrit par la phrase « on obtient au plus 3 en lançant le dé ». Tout lancer de dé donnant comme résultat 1, 2 ou 3 réalise l'évènement A.

Exemple 2 : Dans le choix d'un nombre au hasard entre 0 et 1, l'évènement « on obtientun nombre rationnel » correspond à l'ensemble \mathbb{Q} \cap ]0 ; 1[.

Exemple 3 : On lance 3 pièces successivement. L'évènement « on obtient plus de piles que de faces » correspond à l'ensemble {FPP ; PFP ; PPF ; PPP}.

Événement particulier[modifier le code]

L'univers Ω est appelé évènement certain. Dans un lancer de dé, l'évènement « obtenir un numéro compris entre 1 et 6 »...
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