Problème des 5 cercles

Pages: 18 (4264 mots) Publié le: 29 janvier 2011
Probl`me des 5 cercles e

L’objectif de ce texte est de montrer le r´sultat suivant : on consid`re un e e pentagone ´toil´ ABCDE. Soient S1 , S2 , S3 , S4 et S5 les cercles circonscrits aux e e triangles d´finis par les « branches » du pentagone. Alors les points d’intersece tion de chacun de ces cercles avec le suivant sont cocycliques (on prend bien sˆr u les points d’intersection autres queles sommets du pentagone int´rieur). e

Cette propri´t´, en apparence assez myst´rieuse, s’inscrit dans un cadre bien ee e plus g´n´ral : ` un nombre n quelconque de droites du plan, on associe un point e e a ou un cercle selon la parit´ de n. Tous ces r´sultats de g´om´trie classique e e e e sont dˆs au g´om`tre anglais William Kingdon Clifford (voir [4] pour la preuve u e e originale), etd´montr´s de mani`re accessible dans [1]. Ce probl`me est redevenu e e e e « ` la mode » r´cemment dans des circonstances assez particuli`res : il fut pos´ a e e e par le pr´sident chinois Yang Zemin ` un parterre d’´minents math´maticiens e a e e au cours du congr`s international des math´maticiens (P´kin, aoˆt 2002). C’est e e e u ainsi que ce probl`me a obtenu une certaine c´l´brit´ : il est ainsicit´ par Alain e ee e e Connes dans le cadre du s´minaire Poincar´ (octobre 2002). e e

1

Quelques r´sultats dans le plan complexe e

Le plan sert de mod`le pour repr´senter les nombres complexes. Inversement, e e tout point M du plan peut donc ˆtre « cod´ » par un complexe z, qu’on appelle e e son affixe. Dans toute la suite, on identifiera donc complexes et points du plan.

1

1.1

Pointscocycliques et align´s e

Propri´t´ 1.1 L’angle α a l’origine entre les deux droites passant par les points e e ` z et z est donn´ par la formule : e α = arg(z ) − arg(z) = arg(z /z) Par translation, on en d´duit que l’angle entre les vecteurs z1 z2 et z1 z3 est : e z1 z2 , z1 z3 = arg(z3 − z1 ) − arg(z2 − z1 ) = arg
→ → → →

z 3 − z1 z 2 − z1

D´finition On d´finit le birapport de quatrecomplexes z1 , z2 , z3 et z4 , que l’on e e note W(z1 , z2 , z3 , z4 ), comme le nombre : W(z1 , z2 , z3 , z4 ) = z1 − z3 z2 − z3 : z1 − z4 z2 − z4

Th´or`me 1.2 Les quatre points z1 , z2 , z3 et z4 sont cocycliques ou align´s si e e e et seulement si le birapport W(z1 , z2 , z3 , z4 ) est r´el. e D´monstration : En effet la condition pour que les quatre points soient cocye cliques ou align´ss’´crit (par exemple) : e e z3 z2 , z3 z1 − z4 z2 , z4 z1 = 0 ou π D’apr`s la propri´t´ 1.1, on a e ee z3 z2 , z3 z1 = arg
→ → → → → →

z1 − z 3 z2 − z3

et

z4 z2 , z4 z1 = arg





z1 − z4 z2 − z4

z 1 − z3 z1 − z4 −arg = arg (W(z1 , z2 , z3 , z4 )) z 2 − z3 z2 − z 4 On obtient la condition annonc´e, car le complexe W(z1 , z2 , z3 , z4 ) a pour e argument 0 ou π si et seulement si ilest r´el. e Leur diff´rence est donc arg e
→ →

N.B. Le cas z1 , z2 , z3 et z4 align´s correspond au cas o` les angles z3 z1 , z3 z2 e u et z4 z1 , z4 z2 z1 − z3 z2 − z3 et
→ →

sont eux-mˆme ´gaux ` 0 ou π, c’est-`-dire que les complexes e e a a z2 − z4 z1 − z4 sont tous deux r´els, donc de rapport r´el. e e

1.2

Un point ` l’infini a

Afin d’unifier nos notations, nous allons rajouter auplan complexe un point ∞, qui correspond ` un « point ` l’infini », par lequel en particulier passent a a toutes les droites. Celui-ci permet d’´tendre ` C tout entier la notion d’inverse, si l’on pose e a ∞ = 1/0. On ´tend les op´rations sur les complexes ` notre nouveau nombre e e a en posant : ∀z, z+∞=∞ ∀z = 0, z×∞=∞ z/∞ = 0

∀z = ∞,

z − ∞ = ∞, ∞/z = ∞ et 2

N.B. Lorsque a, b, c et dsont quatre nombres complexes, on identifie le rapport (a × ∞ + b) / (c × ∞ + d) au complexe a/c. Ceci notamment car pour tout complexe z non nul, on a (az + b)/(cz + d) = (a + b/z)/(c + d/z). Et comme b/∞ = d/∞ = 0 d’apr`s nos r`gles d’op´rations, on trouve bien la valeur a/c. e e e Cette explication manque bien sˆr de rigueur : en r´alit´ l’introduction de ce u e e point ` l’infini correspond...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • 5 étapes résolutions problèmes
  • Le travail
  • 5 Grands problemes du monde
  • le cercle
  • Cercle
  • Le cercle infernal
  • Cercle de qualité
  • Eq Cercle

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !