Probl`me des 5 cercles e

L’objectif de ce texte est de montrer le r´sultat suivant : on consid`re un e e pentagone ´toil´ ABCDE. Soient S1 , S2 , S3 , S4 et S5 les cercles circonscrits aux e e triangles d´finis par les « branches » du pentagone. Alors les points d’intersece tion de chacun de ces cercles avec le suivant sont cocycliques (on prend bien sˆr u les points d’intersection autres que les sommets du pentagone int´rieur). e

Cette propri´t´, en apparence assez myst´rieuse, s’inscrit dans un cadre bien ee e plus g´n´ral : ` un nombre n quelconque de droites du plan, on associe un point e e a ou un cercle selon la parit´ de n. Tous ces r´sultats de g´om´trie classique e e e e sont dˆs au g´om`tre anglais William Kingdon Clifford (voir [4] pour la preuve u e e originale), et d´montr´s de mani`re accessible dans [1]. Ce probl`me est redevenu e e e e « ` la mode » r´cemment dans des circonstances assez particuli`res : il fut pos´ a e e e par le pr´sident chinois Yang Zemin ` un parterre d’´minents math´maticiens e a e e au cours du congr`s international des math´maticiens (P´kin, aoˆt 2002). C’est e e e u ainsi que ce probl`me a obtenu une certaine c´l´brit´ : il est ainsi cit´ par Alain e ee e e Connes dans le cadre du s´minaire Poincar´ (octobre 2002). e e

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Quelques r´sultats dans le plan complexe e

Le plan sert de mod`le pour repr´senter les nombres complexes. Inversement, e e tout point M du plan peut donc ˆtre « cod´ » par un complexe z, qu’on appelle e e son affixe. Dans toute la suite, on identifiera donc complexes et points du plan.

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1.1

Points cocycliques et align´s e

Propri´t´ 1.1 L’angle α a l’origine entre les deux droites passant par les points e e ` z et z est donn´ par la formule : e α = arg(z ) − arg(z) = arg(z /z) Par translation, on en d´duit que l’angle entre les vecteurs z1 z2 et z1 z3 est : e z1 z2 , z1 z3 = arg(z3 − z1 ) − arg(z2 − z1 ) = arg
→ → → →

z 3 − z1 z 2 − z1

D´finition On d´finit le birapport de quatre