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Quelques m´thodes appliqu´es en optimisation multiobjectif e e discr`te e

2.1

Introduction

Nombreuses strat´gies ont ´t´ propos´es, consistant ` caract´riser totalement ou e ee e a e partiellement l’ensemble des solutions efficaces du probl`me de programmation lin´aire e e multiobjectif en nombres entiers. Parmi ces m´thodes, nous citons : m´thode de D. e e
Klein & E. Hannan [20], m´thode de A. Crema & J. Sylva [10], m´thode de R. Gupta e e
& R. Malhotra [17] (premi`re et deuxi`me proc´dure), m´thode de M. Abbas & M. e e e e
Moula¨ [1] et finalement m´thode de M. Abbas & D. Chaabane [2] lesquelles nous ı e allons pr´senter en d´tail dans le pr´sent chapitre. e e e Consid´rons le probl`me de programmation lin´aire multiobjectif discr`te suivant : e e e e
(P ) ”M ax” z i = ci x, i = 1, r|x ∈ D
O` : u q

D = {x ∈ Zn |Ax = b, x ≥ 0}, il est suppos´ born´ et non vide. e e

q

A ∈ Zm×n , b ∈ Zm et C = (ci )i=1,r ∈ Zr×n .

2.2

M´thode de D. Klein & E. Hannan [20] e La technique propos´e par les auteurs peut ˆtre utilis´e aussi bien pour identifier e e e l’ensemble de toutes les solutions efficaces que pour en caract´riser une partie seulee ment. Elle consiste ` r´soudre progressivement une s´quence de programmes lin´aires a e e e
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Chapitre 2: Quelques methodes appliquees en optimisation multiobjectif discrete

mono objectif en nombres entiers avec des contraintes ajout´es ` chaque ´tape. Les e a e contraintes suppl´mentaires ´liminent les solutions efficaces d´j` trouv´es, et font en e e ea e sorte que les nouvelles solutions g´n´r´es soient efficaces. e ee
Algorithme
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Etape 1. R´soudre le probl`me (P1 ) d´finit comme suit : e e e (P1 ) M ax {z s = cs x|x ∈ D}
Cas 1. Si la solution optimale de (P1 ), soit x1 , est unique alors elle est efficace pour (P ).
Cas 2. Sinon, d´terminer toutes les solutions alternatives et ` x1 et par compae a raison deux ` deux des vecteurs