mDurée : 4 heures

Baccalauréat S La Réunion juin 2005

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. a. b. 2n = en ln 2−2005ln n a pour limite +∞ : elle diverge. n 2005 n 2n + (−1)n n 2 + (−1) = 1 n +1 1+ n n n

4 points

→ 2 : elle converge.

c. n sin

1 1 sin n = 1 → 1 : elle converge. n n 1 2 n 1 2 ln n

d. 2. a.

n = ln n n→+∞ =

1 2

n ln n

→ +∞ : elle diverge.

lim (v n ) = 0. On ne peut pas savoir : faux vn 1. Pas forcément : faux

b. La suite (un ) est minorée. Oui d. On ne sait pas dire si la suite (v n ) a une limite ou non. Vrai 3. b. La suite (v n ), définie sur N par v n = un − 1, est géométrique. Oui : v n+1 = un+1 − 1 = 2un − 2 = 2(un − 1) = 2v n . (raison 2) c. La suite (v n ) est majorée. Faux : car la raison est supérieure à 1. d. La suite (w n ), définie sur N par w n = ln (un − 1), est arithmétique. w n+1 − w n = ln (un+1 − 1) − ln (un − 1) = a. La suite (un ) converge vers 1. Non car elle est croissante et u1 = 2. c. Pour tout n de N, on a : −1

ln (2un − 2)−ln (un − 1) = ln 2(un − 1)−ln (un − 1) = ln 2+ln (un − 1)−ln (un − 1) = ln 2. La suite est arithmétique de raison ln 2. Vrai xn = 1 1 1 1 1 1 + +··· + et y n = + +··· + . n n +1 2n n +1 n +2 2n

4.

1 1 1 1 1 1 1 + ... + − − ... − = + − = n +1 2(n + 1) n 2n 2n + 2 2n + 1 n 3n + 2 − < 0. La suite (xn ) est décroissante : Faux n(2n + 1)(2n + 2) 1 1 1 1 1 1 1 20 + 15 + 12 + 10 57 19 = = : Vrai et y 3 = + + = b. x3 = + + + = 3 4 5 6 60 60 20 4 5 6 15 + 12 + 10 37 = . Vrai 60 60 c. Les suites (xn ) et y n ne sont pas majorées. Faux pour (xn ), car cette suite décroissante est majorée par son premier terme. 1 1 1 1 1 1 1 d. y n+1 −y n = + +. . .+ − −. . .− = + − n +2 n +3 2n + 2 n + 1 2n 2n + 2 2n + 1 1 1 = > 0. La suite y n est croissante. n + 1 2(n + 1)(2n + 1) 1 Enfin xn − y n = , d’où lim xn − y n = 0. n→+∞ n Conclusion : les suites (xn ) et y n sont adjacentes. a. xn+1 − xn =

Baccalauréat S

E XERCICE 2 1. Arbre de probabilités :
5 9 1 5

5 points