Rapport modélisation 2007

Pages: 5 (1145 mots) Publié le: 13 novembre 2012
1-Introduction



Les formes irrégulières et les structures complexes des aliments et des matériaux

biologiques sont parmi les raisons qui compliquent la résolution théorique des

problèmes de transfert de chaleur et de matière.

Pour moduler plus facilement le processus du transfert on remplace les aliments ou

les matériels biologiques par des formes géométriques fixes. Exemplepomme par

une sphère… Même si les formes géométriques sont régulières, leurs dimensions

finies ne simplifient pas la tâche.

Alors Pour simplifier plus le modèle, on peut ne pas tenir compte des surfaces a

transfert négligeable.




La supposition d’une géométrie finie comme étant infinie signifie que le transfert a eu

lieu le long d’une seule dimension principale (PD) où letransfert est plus important

comparé aux autres dimensions dites dimensions variables (VD) où le transfert est

insignifiant.

Tous les processus de transfert sont représentés par deux nombres F0 (nombre de

Fourier) et Bi (nombre de Biot) respectivement pour le transfert de chaleur et de

matière.



Avec :

[pic] (1)
[pic]
[pic](2)
[pic]


2-Rappels mathématiques

Les équations de transfert de chaleur et de matière d’après (Cars-law & Jaeger ;

Crank, 1970).



Plaque en coordonnées cartésiennes 

[pic]

Cylindres en coordonnées cylindriques

[pic]

Où ф représente la concentration massique ou de la température.

Ω représente la diffusivité thermique.




Les conditions auxlimites sont :

[pic]

Les solutions des équations (3) et (4) sont données respectivement par (8) et (10) :

Cas d´une plaque infinie :

[pic]

Ou λ est donné par :

[pic]

Cas d’un cylindre infini :

[pic]

Où J0 et J1 sont deux fonctions Bessel d´ordres 0 et 1.

λ est donné par : 

[pic]



La valeur moyenne de la température ou de la concentration massique peutêtre

obtenue par l´intégration des équations (8) et (10) donne respectivement (12) et

(14) :

Pour une plaque infinie :

[pic]

Cas d’un cylindre infini :

[pic]

Ou фa représente la température moyenne ou concentration massique pour t

quelconque (K ou Kg/m3).

En utilisant la technique de superposition, les solutions pour une plaque finie et un

cylindre fini sont donnéespar les équations (14) et (15)



[pic]





3-Matériels et méthodes




On a deux types de géométries finies : plaque (3 formes : cercle, carré, et

rectangle) et tige (2 formes : cylindre et carré), ont été sélectionné dans (Fig. 1).

Pour chaque forme géométrique finie on a une dimension constante principale

(PD) et une autre variable (VD).Pour toute forme géométrique finie on a choisi une correspondante infinie avec

le même PD (fig. 1).




[pic]




• Pour une forme géométrique finie et une valeur de PD, (a est calculé pour

des valeurs VD de PD*20 mm à PD*215 mm.



• Pour la même valeur de PD, on calcule (a et on note (a,ref

• Ψ a, ref =ε (erreur) pour les PDde 2, 5, 10,20 et 40 mm et les Bi de

0,01 ;0,1 ;1,10 ;100 ;1000 ;10000.

• Dans le cas d´une géométrie finie rectangulaire, on fait les calculs pour un

rapport largueur*longueur de 1*2, 1*5 et 1*10.

• Les valeurs ( sont évaluées à partir de F0 (eq 1) et Bi (eq2) où δ est la demi-

epaisseur de la forme géométrique finie (fig 1).• Pour calculer ( on a utilisé Microsoft Visual Basic v.6.0. La première étape

est de calculer les racines de l’eq (9) et (11) pour les utiliser dans l’eq (8) et

(10) Pour calculer (a.

• La méthode Newton-Raphson était utilisée pour détermine les 150

premières racines.

• Pour éviter touts erreurs possibles on calcule ces racines pour F0 <...
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