§ 1 Rayonnement EM
Nous avons vu que les ´quations de Maxwell admettaient dans le vide e des solutions ondulatoires. Il s’agit dans ce chapitre d’en d´terminer leur e origine. 1. Potentiels retard´s e Consid´rons les ´quations de Maxwell en pr´sence de sources e e e rotE = − divE = ∂B ∂t divB = 0 rotB = µ0  + 1 ∂E c2 ∂t

Cette ´quation se simplifie si on impose aux potentiel la condition suppl´mentai e e divA + 1 ∂V =0 c2 ∂t (5)

ρ ǫ0

e ` ` appel´e condition de Lorenz (attribu´e a tort a Lorentz). Une telle condie tion peut toujours ˆtre remplie. En effet, (V, A) ´tant donn´s, les champs e e e ′ ′ (V , A ) ayant subit les transformations (3–4) avec la fonction φ solution de l’´quation e 1 ∂2φ 1 ∂V − ∆φ = 2 + divA 2 ∂t2 c c ∂t v´rifient la condition de jauge de Lorenz. e Dans la jauge de Lorenz, on a 1 ∂2A = −µ0  (6) c2 ∂t2 Pour le potentiel scalaire, l’´quation de Maxwell-Gauss donne e ∂ ρ divE = − divA − ∆V = ∂t ǫ0 et en utilisant la condition (5), nous avons une ´quation similaire a (6) e ` pour le potentiel scalaire ∆A − ∆V − ρ 1 ∂2V =− c2 ∂t2 ǫ0 (7)

• l’´quation homog`ne divB = 0 se r´sout en introduisant le potentiel e e e vecteur A : B = rotA (1) • de mˆme la seconde ´quation homog`ne, rotE +∂ B/∂t = 0, se r´sout e e e e en introduisant le potentiel scalaire V E = −∇V − ∂A ∂t (2)

Les potentiels (V, A) ne sont pas uniques pour d´crire un champ EM e donn´. Les transformations des potentiels qui laissent invariantes les e champs sont de la forme V′ = V − ∂φ ∂t ′ A = A + ∇φ (3) (4)

En r´gime statique cette ´quation se ram`ne a l’´quation de Poisson de e e e ` e l’´lectrostatique et l’´quation (6) a l’´quation de la magn´tostatique en e e ` e e jauge transverse. Pour des distributions localis´es, contenues dans le volume Ω, les solue tions de ces deux ´quations s’´crivent e e V (r, t) = V (r ′ , t − R/c) ′ 1 dτ 4πǫ0 Ω R (r ′ , t − R/c) ′ µ0 A(r, t) = dτ 4π Ω R avec R = r − r ′ 2

o` φ est une fonction arbitraire ; ce sont des transformations de