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Pages: 7 (1634 mots) Publié le: 30 décembre 2011
Probabilites 1

Licence S3 Plan des cours ´ 1. Probabilites

2009

La th´orie des probabilit´s permet de mod´liser ce qui dans la r´alit´ e e e e e rel`ve du ”hasard”, de l’al´atoire. e e 1.1. Vocabulaire. – On commence par se donner un ensemble Ω appel´ univers ou popue lation. – Les ´l´ments de Ω sont appel´s des r´sultats. ee e e – Un ´v´nement est une partie de Ω. e e – Nous d´signonspar ´preuve une exp´rience reproductible r´alis´e dans e e e e e des conditions bien d´finies et dont le r´sultat est un ´l´ment d’un e e ee ensemble bien d´termin´ Ω. e e Exemple 1.1. Epreuve : On lance un d´ ` six faces et on note le num´ro ea e obtenu. L’univers des possibles est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ´ e Ev´nement : Obtenir un nombre impair, est la partie {1, 3, 5} de Ω. Exemple 1.2. Epreuve :On jette deux pi`ces. L’univers des possibles est e Ω = {(P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F )} ´ e Ev´nement : ”la premiere piece montre pile”, c’est une partie {(P, P ), (P, F )} de Ω. Exemple 1.3. Epreuve : On mesure en heures la dur´e de vie d’un trane sistor. L’univers des possibles est Ω = {h|0 ≤ h ≤ +∞} ´ e Ev´nement : ”le transistor dure au moins 5 heures”, c’est une partie {h|5 ≤ h ≤ +∞} deΩ. On dit qu’un ´v´nement A ⊂ Ω est r´alis´ a l’issue d’une ´preuve, si le e e e e e r´sultat de l’´preuve ω ∈ Ω appartient ` l’ensemble A. (Donc, si le resultat e e a d’une ´preuve dans l’Exemple 1.1 au dessus est ”4”, l’´v´nement ”Obtenir e e e un impair” n’est pas r´alis´.) e e Les ´v´nements de la forme {ω} sont appel´s ´v´nements ´l´mentaires. e e e e e ee Les op´rations ensemblistes sur les´v´nements se traduisent comme suit : e e e Soit A, B ⊂ Ω sont des ´v´nements associ´s ` une exp´rience, e e e a e – Ω est l’´v´nement certain : il est realis´ quel que soit le r´sultat de e e e e l’´preuve. e – ∅ est l’´v´nement impossible : quel que soit le r´sultat de l’´preuve, il e e e e n’est pas r´alis´. e e
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– Compl´mentaire : Ac est l’´v´nement contraire ` A, qui est realis´ si Ae e e a e ne l’est pas. – Reunion : A ∪ B correspond a l’´v´nement qui est realis´ si A ou B est e e e realis´. e – Intersection : A ∩ B correspond a l’´v´nement qui est realis´ si A et B e e e est realis´. e – Inclusion : A ⊂ B signifie que si A est realis´ alors B est realis´. e e – Disjoints : A ∩ B = ∅ signifie que les ´v´nements A et B sont ime e compatibles : A et B ne sont jamais r´alis´stous les deux pour aucun e e r´sultat. e 1.2. D´finition. e D´finition 1.1. Une probabilit´ est une fonction P d´finie sur certains e e e parties de Ω satisfaisant : (1) P (Ω) = 1 (2) Pour A ⊂ Ω, P (A) ≥ 0 (3) Soit A, B ⊂ Ω deux ´v´nements disjoints, alors e e P (A ∪ B) = P (A) + P (B) On dispose des propri´t´s suivantes, qui se d´montrent facilement ` partir ee e a de la d´finition. e Proposition 1.1.Soit Ω l’univers muni d’une probabilit´ P , alors pour e A, B ⊂ Ω (1) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) (2) P (Ac ) = 1 − P (A), en particulier, P (∅) = 0 (3) Si A ⊂ B, alors P (A) ≤ P (B) D´monstration. e disjoints (1) Si nous ´crivons A comme reunion des ensembles e

A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B c ) alors P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B c ). D’autre part, A ∪ B = B ∪ (A ∩ B c ) et donc P (A ∪ B) = P(B) + P (A ∩ B c ) = P (B) + P (A) − P (A ∩ B) (2) Comme Ω = A ∪ Ac et les ensembles A et Ac sont disjoints, on a 1 = P (Ω) = P (A) + P (Ac ) et donc P (Ac ) = 1 − P (A) (3) Si A ⊂ B, on peut ´crire B comme l’union disjoint de A et B \ A. e Puisque la probabilit´ est toujours non n´gative, e e P (B) = P (A) + P (B \ A) ≥ P (A)

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1.3. Probabilit´ sur les univers fini ou infini d´nombrable.Soit Ω = e e {x1 , x2 , . . . , xn }. Se donner une probabilit´ revient ` se donner des r´els e a e pi ∈ [0, 1], 1 ≤ i ≤ n tels que
n

pi = 1
i=1

P est d´finie comme suit : ∀A ⊂ Ω, e P (A) =
1≤i≤n xi ∈A

pi

On v´rifie les propri´t´s plus haut. R´ciproquement, soit P une probabilit´ e ee e e sur Ω = {x1 , x2 , . . . , xn }. On pose pi = P ({xi }) Comme ∀A ⊂ Ω, A = ∪1≤i≤n {xi } on a
xi...
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