MA201 Compte-rendu du TP2: Résolution numérique de l’équation de la chaleur
Laurent Fournier Vendredi 4 Novembre 2011

Partie théorique
2.1
En posant T (x, y) = TΓ + u(x, y) et comme Trouver u ∈ H 1 (Ω) telle que : TΓ = 0 le problème devient :

αu − div(σ u) = f sur Ω et u = 0 sur ∂Ω Avec f = S − αTΓ

2.2
Formule de Riemmann pour la divergence : Soit u ∈ (C 1 (Ω))n ∩ (C 0 (Ω))n et v ∈ (C 1 (Ω)) ∩ (C 0 (Ω)) on a vdiv(u)∂Ω =
Ω Ω

u v∂Ω +
∂Ω

u.nvdΓ

1 On reprend la formulation précédente, on la multiplie par v ∈ H0 (Ω) et on l’intègre sur Ω pour obtenir finalement la formulation variationelle suivante : 1 1 Trouver u ∈ H0 (Ω) telle que ∀v ∈ H0 (Ω) :

α
Ω

uv)dΩ + σ
Ω

u vdΩ =
Ω

f vdΩ

Les termes de bord ont disparus car v s’annule presque partout sur le bord.

2.3
1 1 On a donc Trouver u ∈ H0 (Ω) telle que ∀v ∈ H0 (Ω) :

a(u, v) = l(v) En posant a la forme bilinéaire : a(u, v) = α
Ω

uv∂Ω + σ
Ω

u v∂Ω

Et l la forme linéaire l(v) =
Ω

f vdΩ

On a |a(u, v)| ≤ α
Ω

|uv|∂Ω + σmax
Ω

u v∂Ω

ie
1 |a(u, v)| ≤ (α + αmax )(u, v)H0 (Ω)

1

1 1 D’apres Cauchy-Schwartz : |a(u, v)| ≤ (α + αmax )||u||H0 (Ω) ||v||H0 (Ω) Ce qui a(u, u)) ≥ αmin(1, σmin )||u||2 1 (Ω) H 0

Ce qui montre que a est coercive. Enfin, le théorème de Cauchy-Schwartz nous donne
1 l(v) ≤ ||v||H0 (Ω) ||f ||L2

Ce qui montre que l est continue 1 H0 (Ω) étant un espace de Hilbert, on a toutes les conditions pour appliquer le théorème de Lax-Milgram, le problème est bien posé et admet une unique solution.

2.4
0 0 Formulation variationnelle discrète : Trouver uh ∈ Vh telle que ∀vh ∈ Vh :

α
Ω

uh vh + σ
Ω

uh vh =
Ω

f vh

Avec Th = TΓ + uh

2.5
∀j ∈ {1, . . . , N }, on a uh = i=1 uh (Mi )wi et f = i=1 f (Mi )wi En injectant ceci dans la formulation variationnelle discrète et en posant les matrices M0 = (
Ω N N

wi wj )i,j σ wi wj )i,j

K0 = (
Ω

U 0 = (uh (Mi ))i,j F 0 = M ∗ (f (Mi ))i,j On obtient : (αM0 + K0 )U 0 = F