Sami

Pages: 38 (9490 mots) Publié le: 15 décembre 2012
Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé Convergence de séries à termes positifs
Exercice 1 - Quelques convergences - L2/Math Spé 1. On a limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d’Alembert. 3. On a : n2 un = exp 2 ln n − Ilrésulte de lim∞
ln n √ n



√ ln n n ln 2 = exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0,

.

= 0 que
n→∞

et par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente. 4. Puisque ln(1 + x) ∼0 x, on obtient un ∼+∞ et la série est donc divergente. 5. En utilisant le développement limité du cosinus, ou l’équivalent 1 − cos x ∼0 que : π2 un ∼+∞ , 2n2 et la série est convergente. 6. On a (−1)n+ n ∼+∞ n et n2 + 1 ∼+∞ n2 , et donc (−1)n + n 1 ∼+∞ . 2+1 n n Par comparaison à une série de Riemann, la série
n un x2 2 ,

1 , n on voit

est divergente.

7. Par croissance comparée des suites géométriques et la suite factorielle, le terme général ne tend pas vers 0, sauf si a = 0. La série n un est donc convergente si et seulement si a = 0. 8. On écrit tout sous forme exponentielle :ne− On a alors
√ n

= exp(ln n −



n).

√ √ exp(ln n − n) = exp(3 ln n − n) → 0 exp(−2 ln n) ne−
√ n

et donc

=o

1 . n2

La série est convergente. http://www.bibmath.net 1

Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé
9. On écrit simplement ln n2 + n + 1 n2 + n − 1 = ∼+∞ La série est donc convergente. 10. On vérifie aisément que un ∼+∞ √ Puisque 4/ 2 > 2, onobtient 2 ln n √ . (4/ 2)n 1 2n ln 1 + 2 . n2 n2 2 +n+1

un =+∞ o et donc la série est convergente.

Exercice 2 - Des critères ! - L2/Math Spé 1. Une série dont le terme général est constitué de puissances et de factorielles est très bien adaptée à l’utilisation du critère de D’Alembert. Dans le cas particulier ce cette question, on a an n 1 (n + 1)! un+1 nan = × . = × a(n+1) un n! n+1 (n + 1)a−1 (n+ 1) Or, on peut écrire n n+1
an

= exp (−an ln(1 + 1/n)) = exp(−a + o(1))

et donc ce terme converge vers e−a . On distingue alors trois cas : – Si a > 1, un+1 /un tend vers 0, la série n un converge. – Si a = 1, un+1 /un tend vers e−1 ∈ [0, 1[, et donc la série n un converge. – Si a < 1, un+1 /un tend vers +∞, et donc la série n un diverge. 2. Les séries dont le terme général porte unepuissance n−ième sont bien adaptées à l’utilisation du critère de Cauchy. On a ici : √ n un = n−1 → 1/2. 2n + 1

La série converge. 3. C’est un peu plus dur. On sépare les termes pairs et impairs. On a : 1 √ u2p = , 2 et par application du critère de Cauchy, la série de terme général u2p converge. D’autre part, √ 2p+1 u 2p+1 = 2,
2p

et par application du critère de Cauchy, la série de termegénéral u2p+1 diverge. Ecrivant la STG un comme somme d’une série convergente et d’une série divergente, on obtient que la série de terme général un diverge. http://www.bibmath.net 2

Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé
4. On va utiliser la règle de d’Alembert. Pour cela, on écrit : un+1 un = (n + 1)α × exp n ln(ln(n + 1)) − ln ln n nα × ln(n + 1) n+1

Or, la fonction x →ln(ln x) est dérivable sur son domaine de définition, de dérivée x → 1 x ln x . On en déduit, par l’inégalité des accroissements finis, que |ln(ln(n + 1)) − ln ln(n)| ≤ Il en découle : 0≤ un+1 un ≤ (n + 1)α n × exp α n n ln n × ln(n + 1) n+1 1 . n ln n

On en déduit facilement, par les théorèmes de composition des limites et par le fait que ln(n+1)/(n+1) tend vers 0, que la limite de un+1 /un estnulle. Par la règle de d’Alembert, la série de terme général un est convergente.

Exercice 3 - Développements limités - L2/Math Spé 1. Le terme général un est positif, et de ch(1/n) = 1 + 1/2n2 + o(1/n2 ), on déduit que 1 un ∼ √ . Par conséquent, la série est divergente. 2n 2. On a : 1 un = exp −n2 ln 1 + = exp(−n) exp(1/2 + o(n)) ∼ e−n . n On en déduit que n2 un → 0 et la série de terme...
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