Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé Convergence de séries à termes positifs
Exercice 1 - Quelques convergences - L2/Math Spé 1. On a limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d’Alembert. 3. On a : n2 un = exp 2 ln n − Il résulte de lim∞ ln n √ n

√

√ ln n n ln 2 = exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0,

.

= 0 que n→∞ et par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente. 4. Puisque ln(1 + x) ∼0 x, on obtient un ∼+∞ et la série est donc divergente. 5. En utilisant le développement limité du cosinus, ou l’équivalent 1 − cos x ∼0 que : π2 un ∼+∞ , 2n2 et la série est convergente. 6. On a (−1)n + n ∼+∞ n et n2 + 1 ∼+∞ n2 , et donc (−1)n + n 1 ∼+∞ . 2+1 n n Par comparaison à une série de Riemann, la série n un x2 2 ,

1 , n on voit

est divergente.

7. Par croissance comparée des suites géométriques et la suite factorielle, le terme général ne tend pas vers 0, sauf si a = 0. La série n un est donc convergente si et seulement si a = 0. 8. On écrit tout sous forme exponentielle : ne− On a alors
√ n

= exp(ln n −

√

n).

√ √ exp(ln n − n) = exp(3 ln n − n) → 0 exp(−2 ln n) ne−
√ n

et donc

=o

1 . n2

La série est convergente. http://www.bibmath.net 1

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9. On écrit simplement ln n2 + n + 1 n2 + n − 1 = ∼+∞ La série est donc convergente. 10. On vérifie aisément que un ∼+∞ √ Puisque 4/ 2 > 2, on obtient 2 ln n √ . (4/ 2)n 1 2n ln 1 + 2 . n2 n2 2 +n+1

un =+∞ o et donc la série est convergente.

Exercice 2 - Des critères ! - L2/Math Spé 1. Une série dont le terme général est constitué de puissances et de factorielles est très bien adaptée à l’utilisation du critère de D’Alembert. Dans le cas particulier ce cette question, on a an n 1 (n + 1)! un+1 nan = × . = × a(n+1) un n! n+1 (n + 1)a−1