THEME :
SANGAKU
Les Sangaku ou San Gaku ( littéralement : tablettes mathématiques) sont des énigmes géométriques japonaises gravées sur des tablettes de bois, apparues entre 1600 et 1850. Les Sangaku étaient peints en couleur sur des tablettes de bois qui étaient suspendues à l'entrée de temples et d'autels en offrande aux divinités locales. Beaucoup de ces tablettes ont été depuis cette période perdues.
Les Sangaku comportent des problèmes de géométrie typiquement japonais qui impliquent en général de nombreux cercles. La preuve des problèmes proposés est rarement donnée.

EXEMPLES DE SANGAKU(S)
Exemple 1 :
Deux cercles de centres O et O’ et de rayons respectifs R1 et R2 sont tangents à une droite en A et B et tangents entre eux.
Montrer que AB² = 4 R1 R2 . ou AB = 2 R 1 R 2

Exemple 2 :
Trois cercles de centres O1 , O2 et O3 et de rayons respectifs R1 , R2 et R3 sont tangents à une droite et tangents entre eux.

Montrer que

1
R3

=

1
R1

+

1
R2

.

Solutions :
Exemple 1
Nous supposerons que R1 > R2 .
Considérons le point M sur (OA) tel que (O’M) et (OA) soit perpendiculaires.
Les droites (OA) et (O’B) sont, par définition ( cercle tangent à une droite ), perpendiculaires à la droite
(AB).
Le quadrilatère AMO’B ayant ainsi trois angles droit est un rectangle.
Par suite :
OM = R1 - R2
De plus
OO’ = R1 + R2 et MO’ = AB
Dans le triangle OMO’ rectangle en M, nous avons , d’après le théorème de Pythagore :
OO’² = OM² + MO’²
Soit

( R1 + R2 )² = (R1 - R2 )²+ AB²
En développant, nous avons :
R1²+ 2 R1 R2 + R2² = R1²- 2 R1 R2 + R2² + AB²
R1²+ 2 R1 R2 + R2² - R1²+ 2 R1 R2 - R2² = AB²
4 R1 R2 = AB²
AB² = 4 R1 R2 soit AB =

4 R1 R2 =

4

R1 R2 = 2

R1 R2

Exemple 2
En utilisant le résultat de l’exemple précédent, nous pouvons écrire que
AB = 2 R 1 R 2
De même , nous avons
AC = 2 R 1 R3 et CB = 2 R 2 R3
Par suite, puisque AB = AC + CB ( le point C est un point du segment [AB] ) :

2

R 1 R2