Vecteurs : Résumé de cours et méthodes
1 Egalité de deux vecteurs
−
→ −→
Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme.

B

A

D

C

2 Relation de Chasles
−
→ −
→ −
→
Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC.
Applications :
• Simplifier des expressions vectorielles :
−
→ −
→
−
→
−
→ −
→
Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC.
Exemple de simplification :
→ −
→ −
→ −
→ −
→ −
→ −
→
−
→
−
→ −
→ −
→ −
→ −
AC + 2CB − AB = AC + CB + CB + BA = AB + CA = CA + AB = CB
• Décomposer un vecteur :
−
→
−
→ −
→
−
→
Quand on remplace AC par AB + BC , on décompose le vecteur AC en faisant apparaître le point B.
−→
−→
Autre exemple de décomposition : si on veut décomposer le vecteur CM en faisant apparaître le point A, on écrit que CM =
−
→ −→
CA + AM.

3 Somme de deux vecteurs
−
−
Pour construire la somme de deux vecteurs non nuls → u et → v :
→
−
→
−
1) On trace le représentant de v partant de l’extrémité de u .
−
−
2) On joint l’origine de → u avec l’extrémité du représentant de → v que l’on vient de tracer. On obtient alors un représentant de
→
−
→
− u + v.

v représentant de v
1

u
2

u+v

4 Multiplication d’un vecteur par un réel
−
−
Pour tout réel k et pour tout vecteur → u non nuls, le vecteur k→ u est tel que :
→
−
→
−
• u et k u sont de même direction.
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−
−
• Si k > 0, → u et k→ u sont de même sens et la longueur de k→ u est égale à celle de → u multipliée par k.
→
−
→
−
→
−
−
• Si k < 0, u et k u sont de sens contraires et la longueur de k u est égale à celle de → u multipliée par (−k).
Exemple :

u
3u
−2 u
−
−
−
−
Remarque : Pour construire → u −→ v , on effectue la somme de → u avec −→
v.
Seconde - Vecteurs

c P.Brachet - www.xm1math.net

1

5 Vecteurs et milieu d’un segment
1−
→
−
→
→
− →
−
− →
Dire que I est le mileu de [AB] équivaut à dire que AI = AB ou que IA + IB = 0 .
2

A

B

I

6 Vecteurs colinéaires, alignement, parallélisme
−
−
−
−
Deux vecteurs → u et → v sont dits colinéaires s’il