Colinéarité de deux vecteurs
I) Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs :
1) Définition
Deux vecteurs non nuls, et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel non nul tel que =
.

Exemple :

= et . sont colinéaires

Remarque :
• Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction. • Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs.

Exemples :
a)

( 2 ; – 3 ) et

donc
b)

(

donc
c)

( 10 ; – 15 ) sont colinéaires en effet 10 = 2 x 5 et –15 = –3 x 5

=5 .
1
3
; – ) et
3
5
=

(

2
1
2
1 2
; – ) sont colinéaires en effet
= x
9
5
9
3 3

et –

1
1
3
= x–
5
3
5

1
.
3

(4 ; 5 ) et (8 ; –10 ) ne sont pas colinéaires en effet :
≠ 0 et ≠ 0 et s’il existe tel que =
, alors 8 = x 4 donc = 2 et
-10 = x 5 donc = -2 . C’est absurde !! et ne sont pas colinéaires.

2) Propriété
Dans un repère, on donne les vecteurs et Les vecteurs

( ; ) et

( ’ ; ’)

sont colinéaires, si, et seulement si,

’–

’=0

Exemples :
a)

( 2 ; – 3 ) et

Réponse : 2

( 10 ; – 15 ) sont-ils colinéaires?

(-15) – (-3)

( 7 ; – 4 ) et

b)

10 = -30 +30 = 0

et

sont donc colinéaires.

( 14 ; 8 ) sont-ils colinéaires?

Réponse : 7 8 – (-4) 14 = 56 – (-56) = 56 + 56 = 112 et ne sont donc pas colinéaires.

0

Démonstration : et Soit (O, , , ) un repère du plan . Les vecteurs

( ; ) et

dans ce plan :

ont pour coordonnées respectives

( ’ ; ’).

• Tout d’abord montrons que si les vecteurs

et

sont colinéaires alors

’=0:

’–
ƒ

Si et sont non nuls, comme et sont colinéaires par hypothèse, alors il
. cela se traduit sur les coordonnées existe un réel non nul tel que = et ’= par : ’ =
’’=
=
= 0.

ƒ

Si l’un des vecteurs est nul alors la relation est clairement vérifiée.

• Montrons maintenant la propriété réciproque : et sont colinéaires : si ’–
’ = 0 alors les vecteurs