Correction - Séries chronologiques

Exercice 1

yt = εt : graphique 6 ; yt = st + εt : graphique 1 ; yt = at + st + εt : graphique 4 ; yt = at × st × εt : graphique 3 ; yt = ft × εt : graphique 5 ; yt = ft + εt : graphique 2.

2

Exercice 2
1 p k 1. Moyenne mobile centrée d’ordre impaire (p = 2k + 1) est définie par : mmp,t = yt+i i=−k Moyenne mobile centrée d’ordre paire (p = 2k) est définie par : mmp,t = 1 p k−1 i=−k+1

1 1 yt+i + yt−k + yt+k 2 2

mm3,2 (X) =

1 (102 + 104 + 106) = 104 3

mm4,3 (X) =

1 4

102 110 + 104 + 106 + 108 + 2 2

= 106

Temps 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

X 102 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 132

mm3(X) 104 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 130 -

mm4(X) 106 108 110 112 114 116 118 120 122 124 126 128 -

Y 203 206 209 212 215 218 221 224 227 230 233 236 239 242 245 248

mm3(Y) 206 209 212 215 218 221 224 227 230 233 236 239 242 245 -

mm4(Y) 209 212 215 218 221 224 227 230 233 236 239 242 -

Fig. 1 – Moyennes mobiles des séries X et Y .

2. Lorsque nous appliquons une moyenne mobile centrée (paire ou impaire) sur une série chronologique composée que d’une tendance, la moyenne mobile n’a aucune influence sur cette série. La série chrono se voit tronquée d’autant de valeurs que la longueur de la moyenne mobile centrée divisée par 2 à chaque extrémité. 1

3.1.

Temps 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Z 305 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 375 380

mm3(Z) 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 375 -

mm4(Z) 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 -

mm3(X)+mm3(Y) 310 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 375 -

mm4(X)+mm4(Y) 315 320 325 330 335 340 345 350 355 360 365 370 -

Fig. 2 – Moyennes mobiles de la série Z.

3.2. La série Z peut se réécrire comme zt = xt + yt = 5 × t + 300. Nous vérifions ainsi que la moyenne mobile de la somme est égale à la somme des moyennes