Exercices de math´matiques MPSI et PCSI e par Abdellah BECHATA www.mathematiques.ht.st

Table des mati`res e
1 G´n´ralit´s sur les fonctions e e e 2 Continuit´ e 3 D´rivabilit´ e e 4 Fonctions de classes Ck 5 Bijections 6 D´veloppements limit´s e e 7 Groupes, anneaux, corps. 8 Polynˆmes o 9 Fractions rationnelles 10 Arithm´tique e 11 Nombres complexes. 12 Suites 13 Suites un+1 = f (un ) 14 Ensembles 15 Espaces vectoriels et applications lin´aires e 16 Familles g´n´ratrices, libres, bases. e e 17 Calcul matriciel 18 Int´gration e 19 Equations diff´rentielles e 2 3 4 5 7 8 9 10 12 13 14 16 19 21 22 24 26 28 30

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G´n´ralit´s sur les fonctions e e e

Exercice 1.1 Etudier les fonctions a. x → ln(e2x − 2 ch(1)ex + 1) 1 b. x → x(1 + )x x √ 1−x 2x 2 c. x → arccos( ) + arcsin( ) d. x → (x − 2)x −3x+2 1+x 1+x e. x → arccos(1 − x2 ) Exercice n 1.2 k Calculer Cn ch(kx), k=0 n k=0 n k Cn sh(kx).

Exercice 1.3 R´soudre l’´quation e e

sh(2 + kx) = 0 k=0 Exercice 1.4 √ R´soudre l’´quation arcsin(2x) = arcsin(x) + arcsin(x 2). e e Exercice 1.5 Calculer arctan 2 + arctan 5 + arctan 8 Exercice 1.6 R´soudre l’´quation tan(3 arcsin x) = 1. On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux. e e Exercice 1.7 Calculer arctan 1 + arctan 2 + arctan 3. Exercice 1.8 2t 1 − t2 Etude de la fonction arccos( ) + arcsin( ) 2 1+t 1 + t2 Exercice 1.9 On donne deux entiers p et q v´rifiant : 0 < p < q. e 1. Calculer arctan q−p p + arctan . q q+p 1 et ` l’aide de la question pr´c´dente en d´duire la formule de Machin a e e e 5 π 1 1 = 4 arctan − arctan 4 5 239

2. Calculer 4 arctan

Exercice 1.10 1. Expliciter un polynˆme Q tel que sin 3x = sin xQ(cos x) o 2. R´soudre l’´quation sin 2x = sin 3x de deux mani`res diff´rentes. e e e e 3. En d´duire les valeurs de cos e π 3π 2π et cos , puis celle de cos . 5 5 5

4. Montrer par r´currence (sans la formule du binˆme) que ∀n ∈ N, ∃Pn et Qn deux polynˆmes tels que cos nx = Pn (cos x) e o o et sin