Sortie pédagogique

Pages: 14 (3291 mots) Publié le: 13 décembre 2014
Physique du bâtiment 1

Forces - Corrigé du TD2

Document en ébauche

Exercices corrigés
Destinés aux étudiants de licence en architecture

1

Physique du bâtiment 1

Forces - Corrigé du TD2

2

Document en ébauche

Chapitre II – Les forces – Corrigé de la série des Travaux Dirigés 2
Exercice 01 :
Deux points A et B dont les coordonnées sont données par : A(2,3,-3) ;B(5,7,-3).
- Déterminer le module, les composantes, la direction (les cosinus directeurs) et le sens du vecteur
AB ;
r
- Déterminer les composantes du vecteur V perpendiculaire AB à appartenant au plan (0, x, y).
Corrigé :

r
r
r
r
r
r
r
r
AB = ( xB − xA ).i + ( yB − y A ). j + ( z B − z A ).k = (5 − 2).i + (7 − 3). j + (− 3 + 3).k = 3i + 4 j

1. Caractéristiques du vecteur AB :
a.Module : AB = 32 + 42 = 5
b. Les composantes : xAB = 3 , y AB = 4
c. La direction (le support) : Obtenu en déterminant les cosinus directeurs :
 x 
r
3
cos(i , AB) = cos AB  = cos  = 0,6 ⇒ α = cos −1 (0,6) = 53,13°
 AB 
5


 y 
r
4
cos( j , AB) = cos AB  = cos  = 0,8 ⇒ β = cos −1 (0,8) = 36;87°
 AB 
5


 z 
r
π
0
cos(k , AB) = cos AB  = cos  =0 ⇒ γ = cos −1 (0) =
 AB 
2
5


Le support se trouve dans le plan (0, x, y ) .
c. Le sens :
Toutes les composantes sont positives, alors AB est orienté positivement suivant les deux axes
Ox et Oy .
2. Les composantes du vecteur perpendiculaire à AB :
r
Soit le vecteur V orthogonal à AB et appartenant au plan (0, x, y ) . Donc :
r
r
r
r
r
3
V . AB = 0 : x.i + y. j • 3.i +4. j = 3x + 4 y =0, soit y = x .
4
3
Tout vecteur dont le support est la droite y = x est un vecteur orthogonal à AB et appartenant
4
au plan (0, x, y ) .
 x.i
r
r 
r
V ∧ AB = 0 :  y. j ∧ AB = 0
 z.k

Exercice 02 :
r
r
r
La résultante R de deux forces F1 et F2 , de module égal à 50 N et fait un angle 30° par
r
rapport à F1 , de module égal à 15 N.
r
r
r
- Déterminer lemodule de la force F2 et la l’angle entre les deux vecteurs F1 et F2 .

(

) (

)

Physique du bâtiment 1

3

Forces - Corrigé du TD2

Corrigé :
r
Nous devons former deux équations à deux inconnues F2 et β à partir de la figure ci-dessous.
D’une part, selon le théorème de Pythagore :
r
r
r
Pour simplifier l’écriture, posons F1 = F1 , F2 = F2 et R = R .
r
D
R
2
2
2
R 2= AD = AC + CD ,
r
F2
Avec AC = AB + BC = F1 + F 2 . cos β ; CD = F2 . sin α
D’où :
2
2
R 2 = (F1 + F2 . cos β ) + F2 . sin 2 β
2
2
2
β
α
R 2 = F1 + F2 . cos 2 β + F2 . sin 2 β + 2 F1.F2 . cos β
C
2
2
r
R 2 = F1 + F2 + 2 F1.F2 . cos β (1)
A
F1 B
D’autre part, nous cherchons une équation différente qui contient cos β :
AC = R. cos α = AB + BC = F1 + F2 . cos β
d'où :
F2 .cos β = R. cos α − F1
(2)
Substituons F2 . cos β de (2) dans (1) :
R 2 = F1 + F2 + 2 F1 .(R. cos α − F1 )
Soit :
2

2

F2 = R 2 + F1 + 2 F1 .R. cos α = 50 2 + 15 2 − 2.15.50. cos 30 = 37,76 N
Et,
R. cos α − F1 50. cos 30 − 15
cos β =
=
= 0,7495 ⇒ β = cos −1 (0,7495) = 41,45°
F2
44,44
Exercice 03 :
r
r
r r
r
r
r
r r
Pour les vecteurs V1 = 2i − j + 5k ; V2 = −3i + 1,5 j − 7,5k; V3 = −5i + 4 j + k , Calculer :
2

(

)

(

)

V1 • V2 , V1 • V1 ; V2 • V2 , V1 ∧ V2 , V2 ∧ V3 , V3 ∧ V2 , V1 • V2 ∧ V3 et V1 ∧ V2 ∧ V3 .
Corrigé :

(

)(

(

)(

)

r
r
r r
r
r
a. V1 • V2 = 2i − j + 5k • − 3i + 1,5 j − 7,5k = 2.(-3) + (-).1,5 + 5.(-7,5) =

)

r
r
r r
r r
b. V1 • V1 = 2i − j + 5k • 2i − j + 5k = 22 + (−1)2 + 52 =

(

)(

)

r
r
rr
r
r
c. V2 • V2 = − 3i + 1,5 j − 7,5k • − 3i + 1,5 j − 7,5k = (−3) 2 + (1,5) 2 + (−7,5)2 =
r
r
r
r
2i − 3i
((−1).(−7,5) − 5.1,5)i = 0i
r
r
 r  r

d. V1 ∧ V2 = − j ∧ 1,5 j = − (2.(−7,5) − 5.(−3) ) j = 0 j
r 
r
r
 r 
(
)
5

7
,
5
2
.
1
,
5

(

1
).(

3
)
=
0
k
k
k
k



r
r
r
r
− 3i
− 5i (1,5.1 − (−7,5).(4) )i = 31,5i
r
r...
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