École Polytechnique
Élèves voie 2

Semestre d'accueil

Équations diérentielles.
Résumé de cours

Alexandre POPIER, Olivier WINTENBERGER

Année : 2006-2007

Ce cours s'adresse aux étudiants étrangers de l'École Polytechnique en première année. Ce n'est pas un cours complet sur les équations diérentielles. Nous nous limitons à des équations avec des solutions à valeurs dans Rm et aux problèmes d'existence et d'unicité des solutions. De plus nous ne donnons pas les (( traditionnelles )) méthodes de résolution explicite des équations, et nous n'abordons pas les problèmes de dépendance par rapport aux paramètres, de stabilité, de points singuliers des champs de vecteurs, etc. Enn nous adoptons un point de vue numérique de résolution en nous focalisant sur la méthode d'Euler. Les démonstrations des résultats énoncés ont été faites en cours et ne sont pas reproduites ici. Pour avoir des complèments, nous revoyons au livre de J.P. Demailly [2] (chapitres 5, 6 et 7), dont s'inspire beaucoup ce cours, ainsi qu'aux diérentes références à la n du cours et à leurs bibliographies respectives. Nous serions reconnaissants à tout lecteur de nous faire part des fautes qu'il aura détectées à l'adresse suivante : - owintenb@univ-paris1.fr.

1 Introduction : modèles en écologie
Les équations diérentielles se retrouvent dans de très nombreux domaines, notamment en physique (par exemple mécanique), en chimie (cinétique des réactions), ou en biologie (dynamique des populations), etc. Ce qui suit s'inspire beaucoup du cours de Jasques Istas de troisième année (( Modèles mathématiques pour l'écologie )) [4]. Les modèles démographiques les plus simples concernent une population isolée. Pour tout instant t, on note N (t) l'eectif d'une population à cet instant, on suppose que cet eectif est assez important pour supposer N (t) réel (et non pas entier). L'évolution de cette population est décrite par une équation diérentielle : dN (t) = naissances - morts + migrations.