Chapitre 1 : rappels sur les suites

29 septembre 2012

Contrôle de mathématiques
Mardi 25 septembre 2012
Exercice 1
ROC

3 points

On considère une suite géométrique (un ) de premier terme u0 et de raison q

1

1) Montrer que la somme S n = u0 + u1 + · · · + un peut sécrire sous la forme
S n = u0

1 − qn+1
1−q

2) Application : déterminer la somme suivante : S = 1 +

1 1
1
1
+ + + + ··· + +
3 9
27
6561

Exercice 2
Visualisation d’une suite

2 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par : f (x) = 3 −

4 x+1 On considère la suite définie pour tout n ∈ N par : u0 = 4 un+1 = f (un )
On a tracé, en annexe , la courbe C f représentative de la fonction f sur l’intervalle
[0 ; +∞[ et la droite D d’équation y = x.
1) Sur le graphique en annexe, placer sur l’axe des abscisses, u0 , u1 , u2 et u3 . Faire apparaître les traits de construction.
2) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite (un ) ?

Exercice 3
Suite arithmético-géométrique

5 points

(un ) est la suite définie par u0 = −1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 0, 2un + 0, 6
1)

a) Démontrer que la suite (vn ) définie par vn = un − 0, 75 est géométrique.
b) En déduire l’expression de vn puis un en fonction de n
c) Déterminer la limite de la suite un .

2) On pose S n = u0 + u1 + · · · + un .
a) Déterminer S n en fonction de n
b) Quelle est la limite de la suite (S n ) ?

Exercice 4
Evolution d’une population : le modèle de Malthus

3 points

Une première approche pour modéliser l’évolution d’une population consiste à considérer que les ressources de la population étudiée sont illimitées. On fait alors l’hypothèse que
Paul Milan

1

Terminale S

contrˆole de math´ematiques

l’accroissement de la population d’une année à l’autre est proportionnel à l’effectif de cette population.
Pour tout entier naturel n , on appelle Pn l’effectif de la population à l’année n. Pn est donc un réel positif. D’après l’hypothèse sur l’accroissement de la population, il