casanegra
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26 pages
c Christophe Bertault - MPSIEspaces euclidiens
Dans ce chapitre, on travaille seulement avec le corps de base R. Les lettres n, p, q . . . désignent des entiers naturels non nuls.
Produit scalaire, norme et distance
1
1.1
Produit scalaire
Définition
(Produit scalaire, espace préhilbertien réel, espace euclidien)
• Soit E un K-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive, i.e. toute application (·|·) : E × E −→ R :
¬ ¡ λx + µy ¬z = λ(x|z) + µ(y|z)
1) bilinéaire : ∀x, y, z ∈ E, ∀λ, µ ∈ R,
;
¬
¡
x¬λy + µz = λ(x|y) + µ(x|z)
2) symétrique : ∀x, y ∈ R, (y|x) = (x|y) ;
3) définie :
4) positive :
∀x ∈ E,
∀x ∈ E,
(x|x) = 0
(x|x)
⇐⇒
x = 0E ;
0.
• Un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire est appelé un espace préhilbertien réel. Un espace préhilbertien réel de dimension finie est appelé un espace euclidien.
Explication Par chance, le produit scalaire usuel avec lequel vous avez l’habitude de travailler depuis quelques années est un produit scalaire au sens de cette définition, sur R2 ou R3 . Cela dit, en principe, cette définition devrait vous étonner. En ¡ début d’année, nous avons défini le produit scalaire de deux vecteurs au moyen de la formule « det u, v = u . v . cos(u, v) », qui supposait connues les notions de norme d’un vecteur et d’angle de deux vecteurs. Cette fois, nous définissons la notion de produit scalaire indépendamment de ces deux notions. Le comble, dans cette histoire, c’est que les notions de norme et d’angle vont découler naturellement de notre définition du produit scalaire.
° ° ° Attention !
Il existe de nombreux produits scalaires conformes à cette définition dans le plan ou l’espace ; jusqu’ici,
´
R2
−→
R nous en avons privilégié un. Par exemple, l’application (·|·) : est un produit
(x, y), (x , y )
−→ 3xx + xy + yx + yy
scalaire sur R2 , distinct du produit scalaire usuel.
En effet La bilinéarité et la