Dissert

Pages: 9 (2191 mots) Publié le: 5 mars 2011
SESSION 2006

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
_______________________

MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devrapoursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

*** QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et on note produit scalaire sur E et la norme associée.

( ) un

Si x1 , x 2 , ..., x p sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x1 , x 2 , ..., x p ,notée

G ( x1 , x 2 , ..., x p ) , la matrice de M p (

) de terme général ( xi

 ( x1 x1 ) ( x1 x 2 ) ... x1 x p   ( x 2 x1 ) . ... .  . G ( x1 , x 2 , ..., x p ) =  . . ... .   .   ( x p x1 ) . ... x p x p  on notera Γ( x1 , x 2 , ..., x p ) son déterminant : Γ( x1 , x 2 , ..., x p )

(

) 

x j pour 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ p :

)

(

)

        = det G ( x1 ,x 2 , ..., x p ) .

Si A est une matrice de M p ,q (

) , le noyau de A est, par définition, Ker ( A ) = { X ∈ M q,1 ( R ) , AX = 0}

1/6

Par ailleurs, on note : pour n entier n ≥ 2 , En l’espace n muni du produit scalaire canonique à la fois considéré comme espace vectoriel euclidien et espace affine euclidien.

I.

GÉNÉRALITÉS

1.

Résultat préliminaire a. Que peut-on dired’une matrice Y ∈ M n ,1 (
b. Si A ∈ M n , p (

) vérifiant t Y Y = 0 ?
puis en déduire que

) , montrer que Ker ( t A A) ⊂ Ker A

rang ( t A A) = rang A .

2.

On donne x1 , x 2 , ..., x p p vecteurs de E. Si B = (e1 , e2 , ..., en ) est une base orthonormale de E, et si A est la matrice de M n , p ( que G ( x1 , x 2 , ..., x p ) = t A A . Quel lien existe entre le rang de la matrice G (x1 , x 2 , ..., x p ) et le rang de la famille de vecteurs ( x1 , x 2 , ..., x p ) ?

)

dont les colonnes sont les composantes des vecteurs x1 , x 2 , ..., x p dans la base B , montrer

3.

Dans cette question, p = n . a. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur Γ( x1 , x 2 , ..., x n ) pour que la famille ( x1 , x 2 , ..., x n ) soit liée. b. Montrer que la famille (x1 , x 2 , ..., x n ) est libre si, et seulement si, Γ( x1 , x 2 , ..., x n ) > 0 . Application L’angle géométrique d’un couple (u, v) de vecteurs non nuls de En est le réel α ∈ [ 0, π] vérifiant : cos α =

4.

(u
u

v) v

.

Si A, B et C sont trois points de E3 situés sur la sphère de centre O et de rayon 1, si on désigne par α, β et γ l’angle géométrique des couples respectifs (OA,OB), (OB, OC ) et
(OA, OC ) , montrer en utilisant une matrice de GRAM que : 1 + 2 cos α cos β cos γ ≥ cos ²α + cos ²β + cos ² γ . Que se passe-t-il dans le cas où les points A, B et C sont sur un même cercle ?

5.

Interprétation géométrique de la matrice de GRAM a. Si a, b et y sont trois vecteurs de E tels que le vecteur a soit orthogonal à la fois au vecteur b et au vecteur y, trouver unerelation entre les déterminants Γ(a + b, y ), Γ(a, y ) et Γ(b, y ) . b. Si ( x, y ) est une famille libre de deux vecteurs de E2 , si F = vect{y} et si z est le projeté orthogonal du vecteur x sur F, montrer que Γ( x, y ) = Γ( x − z , y ) .

2/6

c. En déduire que si A, B et C sont trois points non alignés de E2 ,

1 Γ( AB, AC ) est l’aire 2

du triangle ABC (donc, C »).

Γ( AB, AC ) estl’aire du parallélogramme « formé par A, B et

6.

De la même façon on montre que si A, B, C et D sont quatre points non coplanaires de E3 , Γ( AB, AC , AD) est le volume du parallélépipède « formé par A, B, C et D » que l’on désignera par parallélépipède ABCD . On ne demande pas de prouver ce résultat. a. Vérifier que ce résultat permet de retrouver la formule usuelle du volume du...
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