SESSION 2006

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
_______________________

MATHEMATIQUES 2
Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

*** QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Dans tout le problème, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2 et on note produit scalaire sur E et la norme associée.

( ) un

Si x1 , x 2 , ..., x p sont p vecteurs de E, on appelle matrice de GRAM de x1 , x 2 , ..., x p , notée

G ( x1 , x 2 , ..., x p ) , la matrice de M p (

) de terme général ( xi

 ( x1 x1 ) ( x1 x 2 ) ... x1 x p   ( x 2 x1 ) . ... .  . G ( x1 , x 2 , ..., x p ) =  . . ... .   .   ( x p x1 ) . ... x p x p  on notera Γ( x1 , x 2 , ..., x p ) son déterminant : Γ( x1 , x 2 , ..., x p )

(

) 

x j pour 1 ≤ i ≤ p et 1 ≤ j ≤ p :

)

(

)

        = det G ( x1 , x 2 , ..., x p ) .

Si A est une matrice de M p ,q (

) , le noyau de A est, par définition, Ker ( A ) = { X ∈ M q,1 ( R ) , AX = 0}

1/6

Par ailleurs, on note : pour n entier n ≥ 2 , En l’espace n muni du produit scalaire canonique à la fois considéré comme espace vectoriel euclidien et espace affine euclidien.

I.

GÉNÉRALITÉS

1.

Résultat préliminaire a. Que peut-on dire d’une matrice Y ∈ M n ,1 (
b. Si A ∈ M n , p (

) vérifiant t Y Y = 0 ? puis en déduire que

) , montrer que Ker ( t A A) ⊂ Ker A

rang ( t A A) = rang A .

2.

On donne x1 , x 2 , ..., x p p vecteurs de E. Si B = (e1 , e2 , ..., en ) est une base orthonormale de E, et si A est la matrice de M n , p ( que G ( x1 , x 2 , ..., x p ) = t A A . Quel lien existe entre le rang de la matrice G (