[Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2009\
EXERCICE 1 7 points
Commun à tous les candidats
Soit f la fonction définie sur l’intervalle
[0 ; +∞[ par : f (x) = xe−x2
.
On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ³O, −→ı , −→ ´ du plan. Cette courbe est représentée cicontre.
→−ı 1 2
−→
O
1
Partie A
1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
(On pourra écrire, pour x différent de 0 : f (x) =
1
x × x2 ex2 ).
b. Démontrer que f admet un maximum en p2 2 et calculer cemaximum.
2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction de a, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a.
Quelle est la limite de F(a) quand a tend vers +∞?
Partie B
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un =Zn+1 n f (x)dx.
On ne cherchera pas à expliciter un.
1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1 f (n +1)6un 6 f (n).
b. Quel est le sens de variation de la suite (un)n>2 ?
c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?
2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel strictement positif n, F(n) = n−1 Xk=0 uk .
b. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiativemême non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On donne ci-dessous les valeurs de F(n) obtenues à l’aide d’un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7. n 3 4 5 6 7
F(n) 0,499 938 295 1 0,499 999 943 7 0,5 0,5 0,5
Interpréter ces résultats.
A. P.M. E. P. Baccalauréat S
EXERCICE 2 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ³O, −→u , −→v ´. On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit A, B et C les points d’affixes respectives : a = 3−i, b = 1−3i et c = −1−i.
1. a. Placer ces points sur une figure que l’on complètera au fur et