c) On en déduit directement que pour tout entier naturel n , wn1  wn  2 . La suite ( ) est donc arithmétique de raison 2 et de premier terme
.
d) Cet algorithme détermine le rang du premier terme de la suite ( ) inférieur ou égal à 0,000001.
Il renvoie
.
e) L’algorithme ci-contre détermine le plus petit entier n1 tel que wn  10000

DEVOIR MAISON N°1 (correction)
1.  On considère la suite de nombres  un  définie par :

u0  1 , u1 

1
1
et pour tout entier naturel n , un  2  un 1  un
2
4
(

1)

)
. La suite  un  n’est donc pas arithmétique.

Il renvoie

.

. La suite  un  n’est donc pas géométrique.
2) On définit la suite  vn  en posant, pour tout entier naturel n :

1 vn  un 1  un
2
(

a) v0

)

b)

(
(

)

2.  On a

)

et

.

alors, par définition, la suite  vn  est géométrique de

c) raison d)

1 et de premier terme
2
( )

.

3) On définit la suite (

. Or d’après le 2.b) on a
Ainsi

)

.

»

Initialisation
. ( ) est vraie.

Supposons qu’il existe un entier

.

b)

(

 Hérédité
Hypothèse de récurrence :

u wn  n vn a)

On peut donc conjecturer que pour tout entier naturel non nul,
Prouvons ceci par récurrence :


) en posant, pour tout entier naturel n :

,

.

Soit ( ) : «

( )

,

tel que ( ) soit vraie, c’est-à-dire tel que

.

On a alors :

et
.
.

HR :

Donc (

) est vraie.

 Conclusion
La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire. Donc, d’après le principe de récurrence,
( ) est vraie pour tout entier c'est-à-dire , pour tout entier naturel non

nul .