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AP n°12 : Corrigé

Dans un laboratoire, des scientifiques ont étudié pendant 10 ans l’effet de la pollution sur une population d’insectes car ils craignent l’extinction de cette espèce.
L’étude a été effectuée sur un échantillon de 25 000 insectes.
Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Partie A :
Une étude a permis de montrer que la population d’insectes diminue très rapidement lors des quatre premières années.
La population peut être modélisée par la fonction f définie sur l’intervalle  0; 4 par f  t   25e 0,5t ,

où t est le temps exprimé en années et f  t  le nombre de milliers d’insectes.
1. Calculer le pourcentage de diminution du nombre d’insectes la première année. Arrondir à 1%.
Au départ il y a 25 000 insectes et au bout d’un an selon la modélisation, le nombre d’insectes est égal à f 1 1000 soit environ 15 163.
Le taux d’évolution est

15163  25000
 0,3935 .
25000

Le pourcentage de diminution du nombre d’insectes la première année est d’environ 39%.
2. a. Monter que la fonction F définie sur l’intervalle  0; 4 par F  t   50e 0,5t est une primitive de la fonction f sur l’intervalle  0; 4 .
La fonction F est dérivable sur  0; 4 et pour tout t de  0; 4 , F '  t   50   0, 5e 0,5t   25e0,5t  f  t  donc la fonction F définie sur l’intervalle  0; 4 par F  t   50e 0,5t est une primitive de la fonction f sur l’intervalle  0; 4 .
b. Calculer la valeur exacte de



4

2



4

2

4



4

2

25e0,5t dt .

25e 0,5t dt   f  t  dt  F  4   F  2  ;
2

25e 0,5t dt  50 

F  4   50e 2  50 

1
1
, F  2   50e 1  50  donc
2
e e 1 
1
1 1 
 e 1 
  50    50   2   50  2  .
2
e  e e e 
 e 

c. En déduire la population moyenne d’insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année. La valeur moyenne de la fonction f entre 2 et 4 est :
1 4
1
 e 1 
 e 1 
25e 0,5t dt   50  2   25  2  ; cette valeur moyenne