Théorème de Thalès

Pages: 5 (1228 mots) Publié le: 19 novembre 2014
Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème de géométrie qui affirme que, dans un plan, une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle sectionne ce dernier en un triangle semblable (voir énoncé précis ci-dessous). En anglais, il est connu sous le nom de Intercept theorem (soit théorème d'intersection) ; en allemand il est appelé Strahlensatz, c'est-à-dire théorème desrayons.

Ce résultat est attribué au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet. Cette attribution s'explique par une légende selon laquelle Thalès aurait calculé la hauteur d'une pyramide en mesurant la longueur de son ombre au sol et la longueur de l'ombre d'un bâton de hauteur donnée. Cependant, la démonstration écrite la plus ancienne connue de ce théorème est donnée dans les Élémentsd'Euclide (proposition 2 du livre VI). Elle repose sur la proportionnalité d'aires de triangles de hauteur égale (voir ci-dessous le détail de la preuve).

Le théorème de Thalès se généralise en dimension supérieure. Le résultat est équivalent à des résultats de géométrie projective tels que la conservation du birapport par les projections. À un niveau plus élémentaire, le théorème de Thalès sertà calculer des longueurs en trigonométrie, à condition de disposer de deux droites parallèles. Cette propriété est utilisée dans des instruments de calcul de longueurs.

En anglais et en allemand, le théorème de Thalès désigne un autre théorème de géométrie qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle, et dont un côté est un diamètre, est un triangle rectangle.

En pratique, le théorème deThalès permet de calculer des rapports de longueur et de mettre en évidence des relations de proportionnalité en présence de parallélisme.

Théorème de Thalès : Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC) (comme indiqué sur la figure ci-dessous).

Alors on a :
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\text{ et}\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}.

Remarque importante : la deuxième égalité n'est possible que parce que l'on part du point A et que l'on reste sur la même droite pour fabriquer le premier rapport. En effet, tout autre rapport partant d'un autre point ne permettrait pas d'avoir une égalité avec \dfrac{DE}{BC} ou \dfrac{BC}{DE}.

Par exemple, bien que \dfrac{DA}{DB}=\dfrac{EA}{EC}, on a\dfrac{DA}{DB}\neq\dfrac{DE}{BC} et \dfrac{DA}{DB}\neq\dfrac{BC}{DE}. De même, \dfrac{AD}{AE}\neq\dfrac{BC}{DE} et \dfrac{AD}{AE}\neq\dfrac{DE}{BC}. Ce théorème est donc constitué de deux égalités bien distinctes qu'il serait bon de bien séparer comme c'est le cas ici.

La première étant toujours vraie et pouvant être fabriquée de toute sorte de façons, par exemple \dfrac{AD}{AE}=\dfrac{DB}{EC}. Et ladeuxième égalité, qui elle n'est vraie que dans des conditions beaucoup plus restrictives.

Deux configurations possibles du théorème de Thalès
Thales theorem 1.svg
Thales theorem 2.svg

Ce théorème démontre que les triangles ABC et ADE sont homothétiques : il existe une homothétie de centre A envoyant B sur D et C sur E. L'un des rapports donnés ci-dessus est au signe près le rapportde l'homothétie. Plus précisément, le rapport de l'homothétie est +AD/AB dans la première configuration et –AD/AB dans la seconde. Le théorème de Thalès est parfois énoncé plus simplement en affirmant qu'une droite parallèle à un des côtés du triangle coupe ce triangle en un triangle semblable.

Il peut être mis en œuvre dans différentes constructions géométriques faisant intervenir compas etrègle. Par exemple, il peut justifier une construction permettant de diviser un segment en un nombre donné de parts égales.

Pour être plus rigoureux, l'énoncé ci-dessus donné nécessite l'utilisation d'une distance euclidienne pour donner un sens aux longueurs mentionnées (AB, BC…). Un énoncé plus général et précis est donné dans le cadre de la géométrie affine. Dans ce cadre, la notion de...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • Théorème de Thalès
  • Théorème de thales
  • Theoreme de thales
  • Theoreme de thales
  • Théorème de Thalès
  • Histoire du théorème de thalès
  • AP THEOREME DE THALES Maths
  • Exercice de maths 3ème : théorème de thalès

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !