La théorie des graphes

La théorie des graphes

Chaînes et cycles eulériens, matrice associée à un graphe, coloriage

AVANT-PROPOS

En 2002, en France, a eu lieu une réforme du programme du secondaire. Plusieurs nouveaux chapitres de mathématique ont alors fait leur apparition dans les manuels scolaires. En consultant ces livres, un des thèmes m’a immédiatement attiré. Cette matière, intitulée « Introduction à la théorie des graphes » m’a semblé particulièrement intéressante et j’ai donc choisi de l’approfondir. J’ai alors interrogé mon entourage qui m’a immédiatement convaincu. En effet, certains ont suivi, d’autres suivent des études à orientation mathématique et scientifique. En Belgique, ce thème est par ailleurs uniquement abordé en 3ème année de baccalauréat à l’université. Cette théorie mathématique m’a tout de suite plu par son aspect visuel et son originalité, se démarquant des autres notions mathématiques. D’ailleurs Claude Berge, père de la théorie des graphes moderne a dit : « Mon goût pour les graphes et pour ce genre de raisonnement venait surtout d'un désir de rendre visuelles des choses très ... complexes ». Bien évidemment, je me limiterai aux notions de base, utilisant notamment les deux outils mathématiques découverts cette année au cours de mathématique 6h et de PESU : les matrices et les démonstrations par récurrence et par l’absurde.

SOMMAIRE

AVANT-PROPOS 3

SOMMAIRE 4

1. INTRODUCTION 5

2. LA NOTION DE GRAPHE 6

2.1. Représentation d’une situation par un graphe 6 2.1.1. Description d’un graphe 6 2.1.2. Propriétés et démonstrations 7 2.1.2.1. La somme des degrés d’un sommet 7 2.1.2.2. Le nombre de sommets de degré impair 7 2.1.2.3. Le nombre d’arêtes dans un graphe complet 8 2.1.3. Applications des propriétés 8 2.1.3.1. Les pistes cyclables 8 2.1.3.2. L’organisation d’un tournoi 8 2.1.3.3. Application géométrique 9

2.2. Chaînes et cycles eulériens 10 2.2.1.