Théorie des graphes

Pages: 26 (6286 mots) Publié le: 9 mai 2010
La théorie des graphes

La théorie des graphes

Chaînes et cycles eulériens,
matrice associée à un graphe, coloriage

AVANT-PROPOS

En 2002, en France, a eu lieu une réforme du programme du secondaire. Plusieurs nouveaux chapitres de mathématique ont alors fait leur apparition dans les manuels scolaires. En consultant ces livres, un des thèmes m’a immédiatement attiré. Cettematière, intitulée « Introduction à la théorie des graphes » m’a semblé particulièrement intéressante et j’ai donc choisi de l’approfondir. J’ai alors interrogé mon entourage qui m’a immédiatement convaincu. En effet, certains ont suivi, d’autres suivent des études à orientation mathématique et scientifique. En Belgique, ce thème est par ailleurs uniquement abordé en 3ème année de baccalauréat àl’université. Cette théorie mathématique m’a tout de suite plu par son aspect visuel et son originalité, se démarquant des autres notions mathématiques. D’ailleurs Claude Berge, père de la théorie des graphes moderne a dit : « Mon goût pour les graphes et pour ce genre de raisonnement venait surtout d'un désir de rendre visuelles des choses très ... complexes ».
Bien évidemment, je me limiterai auxnotions de base, utilisant notamment les deux outils mathématiques découverts cette année au cours de mathématique 6h et de PESU : les matrices et les démonstrations par récurrence et par l’absurde.

SOMMAIRE

AVANT-PROPOS 3

SOMMAIRE 4

1. INTRODUCTION 5

2. LA NOTION DE GRAPHE 6

2.1. Représentation d’une situation par un graphe 6
2.1.1. Description d’un graphe 6
2.1.2.Propriétés et démonstrations 7
2.1.2.1. La somme des degrés d’un sommet 7
2.1.2.2. Le nombre de sommets de degré impair 7
2.1.2.3. Le nombre d’arêtes dans un graphe complet 8
2.1.3. Applications des propriétés 8
2.1.3.1. Les pistes cyclables 8
2.1.3.2. L’organisation d’un tournoi 8
2.1.3.3. Application géométrique 9

2.2. Chaînes et cycles eulériens 10
2.2.1.Exemple du trait de crayon unique 10
2.2.2. Notions de chaîne eulérienne et de cycle eulérien 10
2.2.3. Théorèmes d’Euler 12
2.2.4. Les sept ponts de Königsberg 14
2.2.5. Recherche d’une chaîne eulérienne à l’aide d’un algorithme 15
2.2.6. Modification du graphe afin d’obtenir un cycle eulérien 17

2.3. Matrice associée à un graphe 17
2.3.1. Exemple d’un circuit touristique 172.3.2. Définition de la matrice associée 18
2.3.3. Propriété des chaînes de longueur p 18
2.3.4. Résolution de l’exemple 19

2.4. Coloriage d’un graphe 21
2.4.1. Coloriage de la carte des régions administratives françaises 21
2.4.2. Nombre chromatique et encadrement de ce nombre 23
2.4.3. Application pour la surveillance dans les salles de musées 23
2.4.4. Application pourl’organisation d’un planning de cours 24

3. CONCLUSION 27

BIBLIOGRAPHIE 28

INTRODUCTION

Au 18ème siècle, Leonard Euler[1] fut le premier à introduire le concept de la « théorie des graphes » lorsqu’il démontra qu'il était impossible de traverser chacun des sept ponts de la ville de Königsberg une seule fois et de revenir au point de départ. A cette époque, il ne donna pas encore dedéfinition rigoureuse mais ce concept fit voler en éclats plus de 2000 ans de géométrie euclidienne : la notion de repère n’a plus de raison d’être, seuls comptent les « liens » entre les points. Ce n’est qu’à partir du 20ème siècle et la modernisation de cette théorie par Claude Berge[2] que ce concept refait surface. Désormais, l’intérêt pour cette notion croît de plus en plus, particulièrement àl’étranger. Le graphe est un des objets mathématiques les plus simples : des points appelés sommets sont reliés entre eux par des segments appelés arêtes. Malgré leur simplicité apparente, les graphes permettent la modélisation de nombreuses situations concrètes et le plus souvent très complexes où interviennent des objets en interaction.

Le nombre d’applications modélisables par la théorie...
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