Thorie des graphe

Pages: 62 (15346 mots) Publié le: 13 septembre 2012
CAHIERS DE LA CRM

Introduction à la théorie des graphes
Didier Müller

CAHIER N O 6

COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE

Table des matières
Avant-propos But de ce fascicule . . . . Corrigés des exercices . . . Logiciels pour les graphes Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 5 6 7 7 8 8 10 11 13 13 14 15 15 16 17 18 19 20 21 21 24 24 24 25 26 29 29 29 29 31 31 31 32 33 34

1 Graphes non orientés 1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2 Quelques types de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Exemple d’utilisation d’un graphe pour résoudre un problème 1.1.4 Graphes d’intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Graphe partiel et sous-graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Degrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Degré d’un sommet . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Degré d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Chaînes et cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Graphes eulériens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Graphes hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Couplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1.7.1 Calcul d’un couplage maximum . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Représentations non graphiques d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Matrice d’adjacences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Listes d’adjacences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Arbres . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Codage de Prüfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Arbres couvrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Arbre couvrant de poids minimum . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Encadrement du nombre chromatique . .. . . . . . . . . . . 1.12.2 Algorithme de coloration de Welsh et Powell . . . . . . . . . 1.12.3 Graphes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.4 Coloration des sommets d’un graphe planaire . . . . . . . . . 1.12.5 Coloration des arêtes d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Graphes triangulés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Graphes orientés2.1 Graphes orientés . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Degré d’un sommet d’un digraphe . . . . . . 2.3 Chemins et circuits . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Digraphe fortement connexe . . . . . 2.4 Représentations non graphiques des digraphes 2.4.1 Matrice d’adjacences . . . . . . . . . 2.4.2 Listes d’adjacences . . . . . . . . . . 2.5 Digraphes sans circuit . . . . . . . . . . . . . 2.6 Graphesde comparabilité . . . . . . . . . . .

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C AHIERS DE LA CRM

No 6 · i

2.7 2.8

Algorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Réseau PERT (Project Evaluation and Review Technique) . . . . . . . . .

35 37 40 41 46

Bibliographie Lexique Index

ii · No 6

C AHIERS DE LA CRM

Avant-propos
La mise en oeuvre du...
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