THEORIE DES GRAPHES

Introduction :

La recherche de chemins de longueur extrémale consiste à trouver une longueur, minimale ou maximale, d’un chemin reliant un sommet x0 à un sommet xn. Cette longueur peut prendre plusieurs significations selon le problème étudié, par exemple elle peut représenter un coût, une durée, une information, une distance…etc.
Il serait bon d’abord de s’entendre sur certains concepts de base, déjà définis lors du séminaire, dans la théorie de graphe :

Boucle :
C’est un arc dont l’origine et l’extrémité sont confondues.

Circuit :
C’est un chemin dont l’origine et l’extrémité sont confondues.

Chemin :
C’est une succession d’un adjacent permettant de passer d’une manière continue d’un sommet à un autre.
Longueur d’un chemin :

On appelle longueur d’un chemin reliant un sommet xq à un sommet xn la somme des longueurs des arcs composants le chemin, ou encore le nombre d’arcs que comprend ce chemin.

I. Formulation générale du problème

Considérons un graphe sans boucle G=(X, U)
X : ensemble des sommets
U : ensemble des arcs du graphe

A chaque arc duquel est associé un nombre positif, négatif ou nul, a(u)=aij pour un arc u= (xi,xj) appelé longueur de l’arc.
Nombreux problèmes concrets peuvent se formuler sous la forme «Etudier et rechercher parmi tous les chemins de G ayant même extrémité initiale et même extrémité terminale ceux dont la longueur est extrémale ».

1-REMARQUES IMPORTANTES :

1/ la recherche de chemins de longueur extrémale entre deux sommets x0 et xn n’a de sens que si des chemins existent réellement entre ces deux sommets, il faut donc s’assurer au préalable que xn est bien descendant de x0 (ou ce qui revient au même que X0 est bien ascendant de Xn)

2/ une condition nécessaire d’existence d’un chemin de longueur extrémale entre une extrémité initiale xi et une extrémité terminale xk est que le sous graphe engendré par ceux des sommets de G qui sont à la fois descendants de xi et