Méthode
de
WELCH
 1. Prélever
L
«
tranches
»
de
N
points
d’une
réalisation
ξ
d’un
processus
 aléatoire
x(k,
ξ).
Tranche
l
notée
xl(k,
ξ)
(l=0,
1,
…,
L‐1)
 2. Multiplier
(fenêtrer)
chacune
des
tranches
à
l’aide
d’une
fenêtre
à
 transitions
douces
(Hanning,
Hamming,
Kaiser,…)
notée
ω(k,N)
 3. Calculer
les
L
transformées
de
Fourier
F{xl(k,
ξ,N)ω(k,N)}
de
ces
L
 tranches
fenêtrées
de
N
points
 4. Evaluer
les
L
périodogrammes
fenêtrés
associés
 5. Calculer
la
moyenne
des
L
périodogrammes
fenêtrés
 
 Fonction
pwelch()
de
MATALB
:
 [Phi_x,
f]
=
pwelch(x,
w,
nb_ovlp,
NFFT,
1,
‘twosided’)
;
 Arguments
:
 • x
:
vecteur
contenant
les
M
=
L*N
échantillons
du
signal
x(k,ξ)
 • w
:
vecteur
contenant
les
N
points
de
la
fenêtre
temporelle
choisie
 • nb_ovlp
:
lors
de
la
découpe
en
tranches
de
points
du
vecteur
x,
les
 tranches
peuvent
être
contigües
ou
se
recouvrir
de
nb_ovlp
points.
Dans
 ce
cas
le
nombre
de
tranches
est
supérieur
au
nombre
minimun
Lmin=M/N
 • NFFT
:
nombre
de
points
utilisés
pour
évaluer
les
transformées
de
 Fourier
par
FFT
 • 1
:
est
ici
la
fréquence
d’échantillonnage.
Dans
ce
cas,
le
vecteur
des
 fréquences
f
pour
lesquelles
on
été
calculées
les
DSP
est
un
vecteur
de
 fréquences
réduites
F/Fe
 • ‘txoseided’
:
indique
que
les
évaluations
des
DSP
se
font
entre
0
et
Fe
 • Phi_x
:
vecteur
contenant
les
valeurs
des
DSP
 • f
:
vecteur
contenant
les
fréquences
entre
0
et
1
si
Fe
=
1
 • Commentaires
:

 o Le
pas
fréquentiel
est
donné
par
:
Δf
=
1/NFFT
 o M
=
L*N
=>
si
N
diminue
alors
L
augmente
:
Biais
augmente
et
Variance
 diminue
 o Le
fenêtrage
a
une
très
grande
influence
sur
la
réduction
du
biais
 (différence
entre
estimation
et
résultat
théorique).
N
a
peu
d’influence.
 Plus
L
est
grand,
plus
l’amplitude
des
fluctuations
est
faible
 
 Fonction
BUTTER
+
FILTER
 [num,
den]
=
butter(6,
[0.1,0.2]*2)
;
 Calcule
les
numérateurs
et
dénominateurs
d’un
filtre
butterwoth
d’ordre
6
 et
de
bande
passante
réduite
(0,1
;
0,2)
 x
=
10*randm(10000,1)
;
 Créé
un
bruit
blanc,