Transformation de laplace

Pages: 7 (1695 mots) Publié le: 7 juillet 2012
Transformation
de Laplace

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Pierre-Simon de Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge et mort le 5 mars 1827 à Paris, est un mathématicien, astronome et physicien français. En complément de son travail reconnu sur l’étude des équations différentielles, il a contribué notamment à la théorie des probabilités et à l’évolution de la mécaniquecéleste.
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Pierre-Simon de Laplace, né le 23 mars 1749 à Beaumont-en-Auge et mort le 5 mars 1827 à Paris, est un mathématicien, astronome et physicien français. En complément de son travail reconnu sur l’étude des équations différentielles, il a contribué notamment à la théorie des probabilités et à l’évolution de la mécanique céleste.Table des matières

I. Introduction 3
II. Définitions 3
Fonction causale 3
Définition d’une transformée de Laplace 3
Conditions d’existence 4
III. Transformées de fonctions usuelles 4
a) Fonction échelon unité 4
b) Fonctions puissances 5
c) Fonctions exponentielles 5
d) Fonctions trigonométriques 6
IV. Propriétés des transformées de Laplace 7
a) Linéarité 7
b) Amorti 7c) Retard 7
V. Transformation de la dérivée 8
VI. Tableau des principales transformées 9
VII. Applications à la résolution de problèmes différentiels 10

I. Introduction

C’est une opération mathématique réversible qui associe de façon unique chaque fonction temporelle de la variable t à une autre fonction de la variable p.

Elle constitue un moyen de résoudre des équations et dessystèmes différentiels qui modélisent des systèmes en électricité, électronique, théorie de la chaleur, théorie du signal, etc.
La transformée de Laplace permet de résoudre une équation différentielle en la convertissant en une équation linéaire où disparaissent les formes dérivées.
1 : TRANSFORMEE
2 : TRANSFORMEE INVERSE
EQUATION DIFFERENTIELLE

SOLUTION UNIQUE
DOMAINE TEMPOREL « t »EQUATION ALGEBRIQUE

ELEMENTS SIMPLES

DOMAINE SYMBOLIQUE DES « p »
1 : TRANSFORMEE
2 : TRANSFORMEE INVERSE
EQUATION DIFFERENTIELLE

SOLUTION UNIQUE
DOMAINE TEMPOREL « t »
EQUATION ALGEBRIQUE

ELEMENTS SIMPLES

DOMAINE SYMBOLIQUE DES « p »



II. Définitions

Fonction causale 

On dit qu’une fonction est causale lorsqu’elle est nulle sur R*-.
Définition d’une transforméede Laplace 

Soit f une fonction causale, on appelle transformée de Laplace de la fonction f, la fonction F définie par :

Fp=Lft=0+∞ft. e-p t. dt où p∈C
f(t) : est définie dans le domaine temporel
F(p) : est définie dans le domaine appelé domaine symbolique

Conditions d’existence

Il suffit que f soit une fonction continue par morceaux sur tout intervalle de la forme 0 ;a où a∈R*+ et qu’il existe des réels α, Met t0 tels que pour tout t>t0, on ait :
f(t)<Meαt
On dit alors que f est au plus d’ordre exponentiel au voisinage de +∞.
III. Transformées de fonctions usuelles
a) Fonction échelon unité

On appelle fonction échelon unité et on note U, la fonction causale définie sur R par :
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U(t) = 0 si t<01si t ≥0
Graphe de la fonction échelon unité

Graphe de la fonction sinus causale = sinus.U(t)

b) Fonctions puissances

* Pour n=1
Considérons la fonction f1 définie par f1t=tUt , on obtient
Lft=0+∞t. e-p t. dt
On peut procéder à une intégration par partie :
En posant : ut=t et, v't=e-pt
D’où u’t=1 ; vt=-1pe-pt , d’où (si p≠0)
0xt.e-ptdt=-te-ptp0x+1p0xe-ptdt
= -tpe-pt-1pe-ptp0x
=e-pt-xp-1p2+1p2

0+∞t.e-ptdt=lime-pt-xp-1p2+1p2
On obtient pour p>0 : 0+∞t.e-ptdt=1p2 , donc : Lt Ut=1p2
En calculant de proche en proche les transformées de Laplace des fonctions puissance, nous pouvons déduire la formule suivante :
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Ltn Ut=n!pn+1 où n∈N

c) Fonctions exponentielles

On considère les fonctions...
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