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TF06 - Transitoire - Exercice

Régime transitoire - transformée de Laplace

Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C.
Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace.
Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ?
On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s.
Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original de f(p), soit F(t), l’ t original de f(p)/p est :

ó ô F ( u) du õ0 2

α×

Équation différentielle caractéristique du phénomène

∂ T ( x , t)
2

∂x α× transformée de Laplace de l'équation différentielle

2

∂T ( x , t)
∂t

θ ( x) = p× θ ( x) - T ( x , 0)

dx t=0 Condition initiale

d2

=

Conditions aux limites

x> 0

T ( x , 0) = T 0 = 0

x=0

T ( 0 , t) = k× t

x=∞

T bornée

2

d θ ( x)

équation différentielle dans Laplace

2

p
× θ ( x) = 0 α -

dx

solution :

θ ( x) = A× e
-

Comme q doit rester bornée, A est nécessairement nul. x=0 Conditions limites
T ( 0 , t) = k× t

soit

θ ( x) = B× e

p
×x
α

+ B× e

p
×x
α

θ ( 0) = B θ ( 0) =

a une transformée de Laplace

k

B=

alors

2

p

-

2

p

-

×e

2

-

×e

2

p

p
×x
α

p
×x
α

-

p
×x
α

=

e

-

x

k e
= × p x α a une transformée de Laplace inverse

p

α

p

× p

æ x ö ç α ÷ erfc ç
÷
è 2× t ø

× p

t

ó x ö a une transformée de Laplace inverse k× ô erfc æç
÷ dt ô 2× α× t ø è õ0

Cette intégrale a une expression analytique, car erfc a une primitive
(certes un peu compliquée).
En effet, si F(x,t) est une primitive (par rapport à t) de f(x,t), alors

MH

k

p

1
×e
p

k

k

θ ( x) =

La solution de l'équation différentielle en x est donc

Retour au domaine temporel p
×x
α

-

1/2

t

ó ô f ( x , t) dt = F ( x , t) - F ( x , 0) õ0 08/05/2012

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erfc æç

ö
÷
è 2× α× t ø x ö
÷
ö - x × α× t × e è 2× α× t ø
÷

2 ö - x × ferr æ x
÷ 2× α ç è 2× α× t ø è 2× α× t ø

t× erfc æç