Trapèze
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Méthode des TrapèzesLa méthode d'approximation d'une intégrale ainsi dénommée repose sur le calcul de l'aire d'un trapèze, vue comme l'intégrale d'une fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière :
f(x)dx = [A
+ Bx
= (b - a)x
, car b 2 − a 2 = b − a b a
Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans le cas où f est >0 sur [a ; b], l'intégrale de f comme l'aire du trapéze que définissent :
• • • la courbe de f, l'axe des abscisses les deux droites d'équations "x = a" et "x = b". La figure ci-contre montre la courbe de f et l'approximation faite de cette courbe par la droite passant par les points A et B d'abscisses respectives a et b. Pour une fonction f quelconque, mais admettant des primitives sur un intervalle I, on est conduit alors à poser l'approximation :
f(x)dx ~ (b - a)x
qui signifie que l'on «approxime» f entre a et
b par la fonction affine qui coïncide avec f en a et en b.
Pour des raisons de commodités, nous supposerons que a < b. Considérons alors une subdivision de l'intervalle [a;b] de pas h. Cette subdivision est définie par l'entier n tel que : h = et par la suite de réels : " a , a + h , ..., a + k.h , ..., a + n.h = b ".
Sur chaque intervalle [ a + k.h ; a + (k+1).h], où k est un entier compris entre 0 et (n-1), l'intégrale de f sur intervalle peut être approximée par : Prenons comme exemple, h=0,25, c'est à dire n = 4. et comme pas
~ h.
En utilisant la relation de Chasles pour l'intégrale
f(x)dx, on écrit alors:
+ ...+
f(x)dx=
L'approximation par la méthode des trapèzes est : 0,34375 On peut la comparer avec la valeur exacte qui est 0,33333...... D'où, en utilisant l'approximation de chacune des intégrales de cette Pour h = 0.1 c'.à.d n = 10, somme, la formule d'approximation par la méthode des trapèzes: on obtient