Cl´ment Pit--Claudel e

Tremplin

2011-2012

Tremplin – Premi`re s´ance e e
Difficult´ : ∗ — Classes : 1S, TS — Th`mes : Proportionnalit´ — e e e 10 mn, 10 mn.

M´langes — Deux verres de 20 cL sont remplis, l’un de caf´, l’autre de lait. Au moyen d’une petite cuill`re, e e e on transvase 5 mL de lait dans le caf´, puis 5 mL du m´lange dans le lait. Le caf´ contient-il plus de lait, ou le e e e lait plus de caf´ ? e Solution — Apr`s le premier m´lange, la proportion de lait dans le caf´ est ´gale ` e e e e a fois remplie de caf´ au lait, la petite cuill`re contient 5 · e e 40 1 mL de caf´, et 5 · e mL de lait. Enfin, apr`s le e 41 41 40 5 41 1 = . deuxi`me m´lange, la proportion de caf´ dans le lait est e e e 200(−5 + 5) 41 1 5 , soit . Une 200 + 5 41

Difficult´ : ∗ — Classes : 1S, TS — Th`mes : Graphes — e e

5-8 mn, 10 mn.

Num´rotation — Sur la figure suivante, placer les chiffres de 1 ` 7 de sorte que jamais deux chiffres cons´cutifs e a e ne se touchent.

Solution — On repr´sente chaque case par un cercle, et la relation ”se touchent” par un trait. On a construit e un graphe. En prenant son compl´mentaire, on obtient le graphe de la relation ”ne se touchent pas”. Sur celui-ci, e il suffit de trouver un chemin Hamiltonien, c’est ` dire qui passe par chaque case une et une seule fois. a

Difficult´ : ∗ — Classes : 1S, TS — Th`mes : G´om´trie, Astuce — e e e e

10 mn, 5 mn.

Somme d’entiers — Montrer que la somme de 7 entiers strictement positifs, dont le plus grand est 5, peut s’´crire comme la somme de 5 entiers strictement positifs, dont le plus grand est 7. e Solution — Repr´senter les 7 chiffres comme 7 empilements de petits cubes, cˆte-`-cˆte, puis faire basculer e o a o la figure.

Difficult´ : ∗∗ — Classes : 1S, TS — Th`mes : G´om´trie, Analyse — e e e e

10 mn, 10 mn.

Partitionnement — Dans un disque de rayon 1, on a plac´ un million de points. Existe-t-il une droite qui e s´pare cet ensemble de points en deux sous-ensemble de cinq cent