Vérité et démonstration dans les sciences mathématiques

« Une démonstration est la résolution d’une vérité en d’autres vérités déjà connues » (Leibniz). Cette définition pose deux problèmes quant au statut de la vérité et de la démonstration en mathématiques :
- le problème des vérités initiales en mathématiques et de leur intuition
- le problème de la logique : ce que Leibniz nomme « résolution » renvoie aux liaisons logiques entre des connaissances données. Si on veut produire des vérités nouvelles, il faut obéir à une logique qui constitue la liaison entre les vérités connues et acquises.
Quel est le statut des vérités mathématiques ? On affirme souvent qu’elles sont vraies car adéquates à la réalité concrète ; les sciences physiques le confirmeraient puisque les phénomènes naturels obéiraient eux-mêmes à une logique mathématique. Contre cette certitude, Einstein affirme : « pour autant que les mathématiques sont certaines, elles n’ont aucun rapport à la réalité ; et pour autant qu’elles ont un rapport avec la réalité, elles ne sont pas certaines. » Einstein sépare donc l’ordre de la vérité mathématique et celui de la réalité : la vérité pourrait donc être autre chose qu’une simple adéquation au réel.
Pourtant, l’opinion commune ne cesse d’affirmer la valeur sacrée de la vérité mathématique : rien n’est plus réel à ses yeux qu’une vérité soutenue par le langage mathématique. Il suffit d’ajouter un peu de mathématique à son discours pour légitimer sa vérité (sondages, économie, techniques en tout genre). Mais, comme le notait le mathématicien Bertrand Russell, « les mathématiques sont la seule science où l’on ne sait pas de quoi l’on parle, ni si ce qu’on dit est vrai ».

I Intuition et abstraction dans les mathématiques élémentaires

On appelle mathématiques élémentaires les éléments à partir desquels les sciences mathématiques ont pu se complexifier.
1) L’a priori mathématique
L’opinion commune affirme souvent que les mathématiques seraient une