Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04
Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage.
Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre 2003 à début janvier 2004. J’ai rassemblé dans une section annexe plusieurs choses importantes, en complément. Ce résumé ne comporte aucune démonstration complètement formalisée, néanmoins en ce qui concerne le point central que constitue la factorisation des fonctions des espaces de Hardy (pour le disque ou le demi-plan) en facteurs intérieur, extérieur et produit de Blaschke, on peut considérer que la preuve en est donnée ici avec toutes les indications nécessaires. Le cours a principalement porté sur l’étude des espaces H2 , H∞ , H1 , et N pour le disque unité et le demi-plan : rappels sur les notions de base de la théorie des séries de Fourier, de la théorie de l’intégration et de la théorie de la mesure, intégrales de Poisson, théorèmes de Herglotz, de Fatou, de Szëgo-Riesz « log |f | ∈ L1 », des frères Riesz, factorisation de Smirnov-Nevanlinna, théorie de Beurling-Lax des espaces invariants pour le décalage discret ou continu, théorèmes de Szëgo-Kolmogorov-Krein et de Wold sur les séries temporelles stationnaires, théorèmes de Paley-Wiener, théorème de convolution de Titchmarsh, la classe N pour le disque et le demi-plan, condition suffisante pour l’absence de facteur singulier, théorème de Kre˘ (sur les ın fonctions entières). Ce cours n’est qu’une première introduction à ce merveilleux chapitre de la Théorie des Fonctions, à la confluence de bien des domaines. Presque aucune mention n’a été faite des autres espaces Hp , rien n’a été dit des fonctions