L'habitat de l'abeille

L’habitat de l’abeille A l’état naturel, les abeilles bâtissent leur habitat dans les émousses, les branches d’arbres, les cavités ou les cheminées des constructions.

Les abeilles sécrètent de la cire, substance de fabrication des alvéoles si connues. Du fait des efforts et du temps de production, elles sont confrontées à plusieurs problèmes:
- Le pavage de la surface. En premier lieu, elles doivent utiliser au mieux leur espace en trouvant une forme qui leur permette la fabrication et la disposition des alvéoles sans perdre d'espace. Elles réalisent donc un pavage. Celui-ci doit être fait avec des figures de même forme: pas question en effet qu'une larve dispose d'une alvéole plus grande qu'une autre.
Pour un tel pavage, les trois polygones réguliers, triangle, carré et hexagone peuvent être utilisés. Mais il aurait également pu être envisagé avec des rectangles, des losanges et autres figures non régulières.

- La minimisation de la cire. Afin d'utiliser un minimum de cire, et donc de produire ces alvéoles à moindre coût, les abeilles doivent trouver une forme de sorte que le pavage soit économe en cire. Formulé en 180 avant Jésus Christ, le théorème du nid d'abeille (qui avait bien-sûr un autre nom) cherche à déterminer laquelle des différentes figures possibles pour le pavage du plan offre un périmètre minimal. Il ne fut démontré qu'en 1943 par le hongrois László Fejes Tóth dans le cas particulier des polygones convexes.
Un polygone est une figure à plusieurs côtés, chacun étant un segment (c'est à dire droit) comme dans l'exemple de gauche. Une figure convexe est une figure pour laquelle tous les points peuvent être reliés par un segment qui ne sort pas de la figure (exemple à droite: convexe en haut, non convexe en bas).
A noter que le cas général d'un pavage avec n'importe quelle forme n'a été démontré qu'en 1999 par Thomas C. Hale et sa preuve de 19 pages. Ce théorème quoi qu'il en soit, prouve que l'hexagone régulier est le