DM Droite D'Euler

1/ Dans le triangle ABC on sait que I est le milieu de [BC] or si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. De plus les médiatrices d'un triangle sont concourantes et leur point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle par conséquent (OI) est la médiatrice du segment [BC]
D'après ce qui précède on a (OI) médiatrice de [BC] or la médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu d'où (OI) perpendiculaire à [BC]
De plus on sait que (AK) est la hauteur issue de A par conséquent (AK) est perpendiculaire à [BC]
D'après ce qui précède on a (AK) et (OI) perpendiculaire à [BC], or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors ces deux droites sont parallèles par conséquent (OI) et (AK) sont parallèles

2/ Dans le triangle ABC, on sait que H appartient à (AK) par conséquent (AH) est parallèle à (OI)
Dans le triangle AEH, On sait que E est le point diamétralement opposé a A par conséquent E appartient au cercle de centre O circonscrit au triangle ABC
On a donc O milieu de [AE]
Or dans un triangle si une droite passe par le milieu d'un coté tout en étant parallèle à un deuxième coté alors elle coupe le troisième coté en son milieu
Donc I est le milieu de [EH]

3/ Dans le quadrilatère BECH et d'après ce qui précède on a I milieu de [EH] et I milieu de [BC]
Or si un quadrilatère à ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme
Par conséquent BECH est un parallélogramme

4/ Dans le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC on a E point du cercle diamétralement opposé a A d'où [AE] diamètre du cercle de centre O
On a également C point de ce même cercle
Or si un triangle AEC est inscrit dans un cercle de diamètre [AE] alors le triangle est rectangle
Donc le triangle AEC est rectangle en C
Par conséquent (AC) perpendiculaire à (CE)