L'algèbre de boole ( niveau 2nd)

Pages: 5 (1075 mots) Publié le: 14 octobre 2010
GEORGES BOOLE ET SON ALGEBRE

Georges Boole est né en 1815 à Lincoln en Angleterre et est mort en 1864 à Ballintemple (Irlande). Il a été un grand mathématicien et un grand logicien anglais au cours du XIXeme siècle. Il a établi entre autre un algèbre connu dans le monde et utilisé en informatique. En effet c’est la base de calculs mathématiques complexes permettant d’effectuer toute opérationinformatique à partir de données en binaire (2 chiffres).

I- Définition

1) Variables logiques

Pour comprendre l’algèbre de Boole, il faut admettre la notion de variables logiques. Elles peuvent être des inconnues comme x ou y, des chiffres 1 ou 0, des lettres a ou b ou encore d’autres symboles, qui seront toutes remplacées pour simplifier par un code binaire (0 et 1).Tous ces symboles correspondent à des affirmation : vrai et faux ; 1 correspondant à vrai et 0 à faux. Ces inconnues seront variables, si x=1 alors x’est sa négation, son inverse, soit x’=0. Suivant leur valeur, différentes solutions en résulteront.

2) Notions de fonctions

Il est possible d’effectuer des calculs grâce à différentes opérations logiques. Plus simplement, on peut les définirpar + ou *, deux opérations commutatives et distributives.
Exemples : Soit x, y et z 3 variables :

x + y = y + x et x * y = y * x

x + (y * z) = (x + y) * (x + z) et x * (y + z) = (x * y) + (x * z)

Le symbole + se lit « ou » alors que le symbole * se lit « et ». Ce sont des fonctions, ils en existent plusieurs sortes, les fonctions « et » et « ou » sont les plus importantes.On peut alors commencer les opérations : en sachant que les variables correspondent a des données binaires et que les fonctions permettent différents calculs, on peut alors aboutir a des résultats. Ils seront eux aussi en binaire (0 ou 1) avec 1 correspondant a vrai (effectuant l’opération demandée) et 0 correspondant a faux (n’effectuant aucune opération).
Les résultats de chaque opérationspossible pour chaque fonction peuvent se trouver dans une table de vérité : on y présente toutes les fonctions possibles avec les différentes variables (2 au minimum).

II- Fonctions

Les noms OU, ET, NON OU, NON ET, NON, sont des fonctions de l’algèbre de Boole.
A et B sont des variables logiques, donc les entrées. Dans un circuit électrique, elles peuvent être représentées par des« interrupteurs ».
S est la sortie, donc le résultat de l’algèbre.

Pour se représenter plus facilement les variables, on se place dans un circuit électrique. Les entrées A et B sont des interrupteurs placés de différente manière selon la fonction.

1) La fonction « ou »

Pour la fonction OU les interrupteurs A et B sont placés en dérivation.
Si les deux interrupteurs sontouverts, le courant ne passe nulle part, le résultat est donc 0.
Si l’un des deux interrupteurs est fermé et que l’autre est ouvert, le courant passe dans l’une des deux branches donc le résultat à la sortie sera 1.
Si les deux interrupteurs sont fermés le courant passe aussi dans les deux branches, le résultat à la sortie est donc 1.

Elle effectue donc l’opération demandée si au moins 1des variables (interrupteurs) est vraie (égale à 1).

Table de vérité de la fonction OU :

2) la fonction ET

Pour la fonction ET, les interrupteurs sont placés en série.
Si les deux interrupteurs sont ouverts, le courant ne passe pas, le résultat est 0.
Si l’un des deux interrupteurs est fermé et que l’autre est ouvert, le courant ne passe toujours pas.
Si et seulement si les deuxinterrupteurs sont fermés, le courant passe et le résultat est donc vrai (1).

[pic]

Elle effectue donc l’opération demandée si les deux variables (interrupteurs) sont vrais (1).

Table de vérité de la fonction ET :

[pic]

3) Les fonctions NON OU et NON ET

Ces fonctions sont les inverses des originales.

En effet la fonction NON OU est vraie quand la fonction OU...
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