L'entreprise Galatier

Pages: 23 (5553 mots) Publié le: 11 janvier 2014
5

Chapitre

Fonctions
et formules algébriques

• Énigme 1
C=

Enlever 1

x

(8n + 1 + 8n)2
(4n – 4n – 1)3

C=

(8n)2 (8 + 1)2
(4n – 1)3 (4 – 1)3

C=

f(x) =

82n
34
× 3
3n–3
4
3

26n
34
× 3
26 n – 6 3
C = 26 × 3 donc C ne dépend pas de n.
C=

• Énigme 2
On doit trouver un nombre N dont l’écriture est cxxyy.
N = 1 000x + 100x + 10y + y
N = 1 100x + 11yN = 11 (100x + y)
Si N est un carré alors 100x + y est le produit de 11 par
un carré. De plus 100x + y s’écrit xOy. Les seuls nombres
c
de cette forme divisibles par 11 sont :
902 = 11 × 82
803 = 11 × 73
704 = 11 × 64
605 = 11 × 55
506 = 11 × 46
407 = 11 × 37
308 = 11 × 28
209 = 11 × 19
Seul 704 est le produit de 11 par un carré, donc x = 7 et
y = 4 ; N = 7 744 = 882.

Prendrel’inverse Enlever 4
1
1
——
—— – 4
x–1
x–1
x–1

1
–4
x–1

a) (2x – 3)2 = (2x)2 – 2 × 2x × 3 + 32
= 4x2 – 12x + 9
2
2
b) (3x + 1) = 9x – 6x + 1
c) (2 – 5x)(2 + 5x) = 22 – (5x)2
= 4 – 25x2
2
d) 8 – 2(x – 3) = 8 – 2(x2 – 6x + 9)
= 8 – 2x2 + 12x – 18
= – 2x2 + 12x – 10
a) x2 + 10x + 25 = x2 + 2 × x × 5 + 52 = (x + 5)2
b) 9 – x2 = 32 – x2
= (3 – x)(3 + x)
c) 4x2 – 4x + 1 = (2x – 1)2d) 8 – 2(x – 3)2 = 2[4 – (x – 3)2]
= 2[2 – (x – 3)][2 + (x – 3)]
= 2(5 – x)(– 1 + x)
Pour tout nombre réel x, x ≠ 1,
x–1
x–1 6 x+5
+3=
+ =
2
2
2
2
2
2
3(x – 1) 3x – 1
b)
+3=
+
=
x–1
x–1
x–1
x–1
2
2
3(x – 1)
c)
–3=

x–1
x–1
x–1
2 – 3x + 3 – 3x + 5
=
=
x–1
x–1
a)

2. Activités d’approche
1. Vérifier les acquis
DA = DR + DF =

V
V2
x
x2
=
+
+
3,6254 × 0,7 3,6 177,8

• Activité 1
1.

5
< 3 est vraie lorsque x prend comme
x
valeurs – 4 ou 2,4.
L’inégalité

a) L’inégalité (x + 2)2 – 4 ജ – 4 s’écrit encore
(x + 2) ജ 0. Elle est vraie pour tout réel x car un carré est
toujours positif ou nul.
b) – 4(x – 3,5)2 р 0 est vraie pour tout réel x car – 4 est
négatif et (x – 3,5)2 est positif ou nul.
c) 0,81 – x2 р 0 est fausse pour x =0.
2

1

La courbe est tournée vers le haut (a > 0) ou vers le bas
(a < 0), et plus ou moins écartée.
• β variable, a = 1, α = 0.

• Pour AP = 4, l’aire du jardin est la moitié de celle du
terrain.
• Pour AP = 2, l’aire du jardin est minimale et vaut 28.
• Il est impossible que l’aire du jardin soit le quart de
celle du terrain.
2. a) L’aire du jardin est la somme de celle d’uncarré
de côté x et d’un triangle de base 8 et de hauteur 8 – x
8(8 – x)
donc cette aire est égale à f(x) = x2 +
2
= x2 + 4(8 – x).
b) On a aussi f(x) = x2 – 4x + 32 et f(x) = (x– 2)2 + 28.
En effet (x– 2)2 + 28 = x2 – 4x + 4 + 28
= x2 – 4x + 32
c) • Pour répondre à la question (1), on utilise la forme
développée : f(x) = 32 si et seulement si
x2 – 4x + 32 = 32
x(x – 4) = 0
x = 0 ou x = 4Pour x = 0, le carré APQR se réduit à un point.
• Pour répondre aux questions (2) et (3), on utilise la
forme canonique : f(x) = (x – 2)2 + 28.
Pour tout réel x, (x – 2)2 ജ 0, donc f(x) ജ 28.
64
Il est donc impossible d’obtenir f(x) =
= 16.
4
De plus f(x) = 28 pour x = 2.
f présente donc un minimum égal à 28 pour x = 2.
Les réponses sont conformes aux conjectures.

• Activité 2
a) • avariable, α = 0, β = 0.

2

La courbe se déplace verticalement.
• α variable, a = 1, β = 0.
La courbe se déplace horizontalement.

b) La fonction f semble décroissante sur ]– ∞ ; α] et
croissante sur [α ; + ∞[ quand a > 0.
La fonction f semble croissante sur ]– ∞ ; α] et décroissante sur [α ; + ∞[ quand a < 0.
Elle présente un extremum égal à β pour x = α.
c) Coraline a réalisé sacarte en prenant a = 1, α = 1 et
en faisant varier β.

3. Exercices de base
a)
Ajouter
3

Élever
Multiplier
Soustraire
au carré
par – 2
4
x+3
(x + 3)2
– 2 (x + 3)2
–2 (x + 3)2 – 4

x

b) Soustraire Élever
Multiplier
Ajouter
5
au carré
par 2
6
x
x–5
(x – 5)2
2 (x – 5)2
2 (x – 5)2 + 6
a) a = 3 ; α = 1 ; β = – 4
a > 0 donc f est décroissante sur ]– ∞ ; 1] et...
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