R OYAUME DU M AROC
´ Minist` re de l’Education Nationale, de l’Enseignement e Sup´ rieur, de la Formation des Cadres e et de la Recherche Scientifique Pr´ sidence du Concours National Commun 2006 e ´ Ecole Mohammadia d’Ing´ nieurs e EMI

Concours National Commun d’Admission aux ´ Grandes Ecoles d’Ing´ nieurs ou Assimil´ es e e
Session 2006

´ ´ E PREUVE DE M ATH E MATIQUES II
Dur´ e 4 heures e

Fili` re PSI e

´ Cette epreuve comporte 3 pages au format A4, en plus de cette page de garde L’usage de la calculatrice est interdit

Concours National Commun – Session 2006 – PSI L’´ nonc´ de cette epreuve, particuli` re aux candidats du concours PSI, e e ´ e comporte 3 pages. L’usage de la calculatrice est interdit . Les candidats sont inform´s que la pr´cision des raisonnements ainsi que le soin apport´ a la r´daction et e e e` e a la pr´sentation des copies seront des el´ments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de ` e ´e rappeler avec pr´cision les r´ f´ rences des questions abord´es e ee e

ˆ Si, au cours de l’´ preuve, un candidat rep` re ce qui peut lui sembler etre une erreur d’´ nonc´ , il e e e e le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ a prendre. e`

E XERCICE
R3 , Soit A une matrice r´ elle d’ordre 3 telle que A = 0 et A3 + A = 0. On note E le R -espace vectoriel e B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de E et u l’endomorphisme de E dont la matrice relativement ` a la base B est A. 1. V´ rifier que u3 + u = 0 et que u n’est pas l’endomorphisme nul. e 2. (a) On suppose que u est injectif ; montrer que u2 = −idE et trouver une contradiction. (b) Justifier alors que dim Ker u ∈ {1, 2}. 3. Montrer que E est somme directe des sous-espaces vectoriels Ker u et Ker (u2 + idE ). Quelles sont alors les valeurs possibles de la dimension du sous-espace vectoriel Ker (u2 + idE ) ? 4. On pose F = Ker (u2 + idE ). (a) V´ rifier que F est stable par u. On note v